2.3. Несколько характерных распределений вероятностей наработки на отказ

Для того, чтобы закончить рассмотрение дискретных распределений, обратимся к таблице 2.1. В ней приведены наиболее часто используемые в теории надежности дискретные распределения вероятностей. Некоторые из них уже рассмотрены достаточно подробно в предыдущих параграфах.

Геометрическое распределение – это распределение вероятностей числа опытом до первого успеха в схеме Бернулли. Применительно к теории надежности – это распределение вероятностей времени работы до первого отказа в предположении, что время дискретно, и в каждый момент времени устройство может отказать с одинаковой вероятностью , не зависящей от исходов других опытов.

Гипергеометрическое распределение появляется в следующей ситуации. В серии из изделий имеется годных и бракованных. Наугад выбирается изделий. Гипергеометрическое распределение дает распределение вероятностей для числа бракованных изделий в такой выборке. Понятно, что такого рода распределения вероятностей могут быть востребованы в задачах теории надежности.

Полиномиальное распределение является обобщением биномиального распределения на случай, когда исход опыта может принимать одно из значений. Подсчитывается вероятность того, что в серии из опытов, первое возможное значение встретится раз, второе - раз и т.д. В задачах теории надежности такие распределения нужны тогда, когда множество состояний объекта содержит больше чем две возможности, исправное и неисправное состояние. Это множество может включать, например, исправное, ремонтопригодное и ремонтонепригодное состояния.

Перейдем к непрерывным распределениям. Примеры непрерывных распределений вероятностей и их наиболее важные числовые характеристики приведены в таблице 2.2. В этих таблицах встречаются обозначения некоторых табулированных специальных функций. Это, во-первых, так называемый интеграл вероятностей или функция Лапласа (см. (2.8))

. (2.17а)

Таблица 2.2. Непрерывные распределения вероятностей, применяемые в теории надежности

Наименование распределения вероятностей	Плотность и функция распределения	Числовые характеристики (среднее значение, дисперсия, интенсивность отказов)
Равномерное на интервале	,	,
Экспоненциаль-ное	,	, ,
Вейбулла	,
Нормальное (гауссовское)
Усеченное гауссовское	, ,	,
Гамма-распределение (распределение Эрланга при целом )		, ,

Отметим, что в различных книгах и статьях используются разные (с точностью до пределов интегрирования и нормировки аргумента) определения интеграла вероятностей. При использовании таблиц и стандартных вычислительных программ нужно проверять нормировку и пределы интегрирования и вносить соответствующие поправки в результаты вычислений.

При вычислениях на компьютере можно воспользоваться стандартными программами. Обычно библиотеки, в частности, библиотеки пакета MATLAB содержат стандартную программу для функции ошибок

. (2.17б)

Функция ошибок связана с интегралом вероятностей формулой

. (2.17в)

Кроме того, можно воспользоваться разложением интеграла вероятностей в ряд. При малых по абсолютной величине используют ряд

. (2.17г)

При больших используют ряд

. (2.17д)

Кроме того, в таблице 2.1, встречается неполная Гамма-функция

(2.18)

и полная Гамма-функция

. (2.19)

Полезные свойства Гамма-функции:

,

.

При целых значениях аргумента обе функции выражаются через элементарные функции

,

.

Обсудим приведенные в таблице распределения вероятностей. Прежде всего, заметим, что время работы устройства – заведомо положительная величина, поэтому областью значений с.в. должна быть положительная вещественная полуось. Этому условию удовлетворяют все представленные распределения, за исключением гауссовского.

Равномерное распределение вряд ли адекватно описывает наработку на отказ какого-то реального устройства. Оно предполагает, что время безотказной работы устройства имеет точно определенные верхнюю и нижнюю границу. Такая модель больше подходит для описания процессов обслуживания.

Далее следует экспоненциальное распределение, которое достаточно подробно обсуждалось в предыдущем параграфе.

Распределение Вейбулла – одно из широко применяемых как модель отказов или времени обслуживания. Благодаря двум параметрам: параметру формы и нормирующему параметру , получаем широкое семейство распределений, из числа которых можно подобрать хорошую аппроксимацию для заданного наблюдаемого процесса. В частности, при распределение становится экспоненциальным, а при превращается в известное распределение Рэлея. При <1 интенсивность отказов убывает с увеличением времени работы , а при >1 интенсивность отказов увеличивается с ростом .

Далее в таблице 2.2 приведено нормальное или гауссовское распределение. Ему, вообще говоря, в ней не место, поскольку оно приписывает положительные вероятности отрицательным значениям случайной величины. Все же есть некоторые аргументы в пользу применения этой модели. прежде всего, вероятности больших отклонений от математического ожидания для гауссовской случайной величины (г..с.в.) чрезвычайно малы и зачастую ими можно пренебречь. Например, для г.с.в. с математическим ожиданием и дисперсией имеем . Это означает, что при можно считать что г.с.в. принимает только положительные значения.

Вторая причина популярности нормального распределения – удобство ее применения в исследованиях. Это определяется следующими важными свойствами:

• сумма г.с.в есть г.с.в.

• система г.с.в. полностью описывается числовыми характеристиками отдельных с.в. и корреляционной матрицей (попарными коэффициентами корреляции).

Наконец, еще один аргумент – центральная предельная теорема, согласно которой сумма независимых с.в. с увеличением числа слагаемых становится (в некотором смысле, который следовало бы точно определить) г.с.в. независимо от того, как были распределены отдельные слагаемые. Более того, это свойство распространяется и на широкие классы систем зависимых случайных величин. Поэтому не составляет труда придумать практические ситуации, когда гауссовское распределение – адекватная модель распределения времени работы системы. Например, если до полного отказа системы должно произойти сколько-то отказов и последующих восстановлений ее элементов, то общая наработка будет суммой наработок отдельных элементов, и эту сумму заведомо можно считать г.с.в., как бы ни были распределены слагаемые.

Чтобы избежать проблем с отрицательными значениями, можно искусственно ограничить область значений с.в., для этого приписать нулевые вероятности отрицательным значениям и соответственно нормировать вероятности положительных значений. В результате получим усеченное гауссовское распределение, которое, конечно, не обладает перечисленными выше полезными свойствами обычного гауссовского распределения.

Приведенное в таблице распределение Гамма распределение является обобщением распределения Эрланга, которое играет значительную роль при решении некоторых задач теории систем массового обслуживания. Следующий пример показывает, как распределение Эрланга может быть использовано в задачах теории надежности.

Пример 2.1. Распределение Эрланга

Предположим, что рассматриваемая система состоит из идентичных невосстанавливаемых модулей, имеющих интенсивность отказов и экспоненциальное распределение времени безотказной работы. После отказа первого элемента мгновенно включается второй и т.д. Система работает до тех пор, пока не откажут все модулей. Требуется определить распределение вероятностей времени безотказной работы системы.

Такую систему можно назвать системой с резервированием без восстановления.

Пусть по-прежнему обозначает случайное время работы системы. Имеет место очевидное равенство

,

где использовано для обозначения распределения Пуассона. Из (2.17) получаем

, (2.20)

что в точности совпадает с распределением Эрланга с параметрами , . ■

Как следует из рассмотренного примера, распределение Эрланга с параметрами , соответствует распределению вероятности времени до наступления -того события в простейшем потоке событий с интенсивностью .

Сопоставляя приведенные в таблице 2.2 распределения, отметим некоторые существенные моменты, которые должны быть учтены при выборе модели. Прежде всего, заметим, что плотность распределения вероятностей всякий раз (за исключением равномерной плотности) содержит экспоненциально убывающий множитель. В показателе экспоненты имеем либо сам аргумент , либо его степень. Например, в случае нормального распределения, показатель экспоненты пропорционален , т.е.показатель степени равен двум. Мы уже говорили о том, что в этом случае вероятности больших уклонений малы.

На практике может возникнуть ситуация, когда большие уклонения (порядка, 10) имеют значимые вероятности. В таких случаях, конечно, гауссовское распределение не годится, показатель степени должен быть не больше 1. В этой ситуации более уместным выглядит, например, распределение Вейбулла при соответствующем выборе его параметров.

Приведенные в данном параграфе распределения типичны, но не исчерпывают всего множества возможных моделей. В справочниках и учебниках по теории вероятностей можно найти много других полезных р.в.