2.2. Простейший поток событий. Пуассоновское распределение
Последовательность отказов в работе системы можно представить как случайный процесс, принимающий значение 1, если система неработоспособна и значение 0, если система исправна. Таким образом, с точки зрения теории надежности работа устройства может быть описана как дискретный процесс непрерывного времени.
В данном параграфе мы рассмотрим устройство с мгновенным восстановлением. Это означает, что нас интересует только последовательность отказов: процесс принимает значения 1 только в моменты наступления сбоев в работе устройства. Точно такая же модель используется в Теории систем массового обслуживания для описания процессов поступления заявок на вход системы.
Поток случайных событий называется простейшим, если он удовлетворяет трем условиям:
-
стационарность;
-
ординарность;
-
отсутствие последействия.
Условие стационарности
требует, чтобы вероятность
наступления
событий
в интервале времени
зависела только от
и
и не зависела от момента начала интервала
.
Иными словами, для стационарного процесса
имеем
при всех
.
Условие ординарности
по сути означает, что в течение малого
интервала времени
возможно
наступление не более чем одного события
(события не происходят одновременно).
Более формально, для потока, удовлетворяющего
условию ординарности, должны выполняться
условия
при
.
(2.9)
Иными словами, вероятность
наступления более одного события за
интервал времени
есть величина более высокого порядка
малости по сравнению с
.
Отсутствие
последействия означает,
что события, происходящие в непересекающиеся
интервалы времени, независимы. Формально:
если
и
– непересекающиеся
интервалы, то
.
Подсчитаем плотность
распределения вероятностей с. в.
интервала времени между отказами с
учетом сформулированных ограничений.
Для функции распределения
мы используем обозначение
.
Заметим, что
.
(2.10)
Из условия ординарности
(2.9) следует, что для некоторой константы
левая часть (2.10) удовлетворяет соотношению
.
С другой стороны, для правой части (2.10) имеем
.
В итоге при
приходим
к неоднородному дифференциальному
уравнению с постоянными коэффициентами
.
Его единственным решением,
удовлетворяющим граничному условию
,
является функция распределения
,
(2.11)
которой соответствует плотность распределения
.
(2.12)
С помощью интегрирования по частям устанавливаем, что среднее время наработки до первого отказа равно
.
(2.13)
Полученное распределение вероятностей называется экспоненциальным распределением.
Решим еще одну задачу,
связанную с простейшим потоком заявок.
Найдем распределение вероятностей
числа
отказов за время
.
Для этого разобьем интервал длительности
на
интервалов длительности
.
В последствии мы устремим
к бесконечности, при этом, конечно,
.
Вероятность одного отказа за время
обозначим через
.
Вероятностью наступления более одного
отказа мы пренебрегаем в силу ординарности
потока заявок.
Обозначим через
вероятность
отказов за время
в дискретной схеме. Эта вероятность
представляет собой приближение к искомой
вероятности
,
которую мы вычислим как предел
.
(2.14)
Итак, при больших
по сути дела имеем двоичную схему
Бернулли, следовательно,
.
(2.15)
Напомним, что
,
а величина
остается при этом неизменной, т.е.
.
Поэтому можно использовать приближение
.
Из (2.15) имеем
.
(2.16)
Заметим, что
это математическое ожидание числа
отказов за время
.
Эта величина пропорциональна
,
коэффициент пропорциональности обозначим
через
.
Кроме того, мы воспользуемся замечательным
пределом
.
В результате из (2.16) получаем
.
Итак, окончательный результат имеет вид
.
(2.17)
Это распределение вероятностей называется распределением Пуассона.
Итак, мы видим, что простейший
поток заявок имеет два описания, с
помощью распределения вероятностей
между отказами и с помощью распределения
вероятностей числа отказов за интервал
времени длительности
.
Обсудим кратко предположения,
лежащие в основе модели. Стационарность
– стандартное предположение, означающее,
что характеристики объекта не зависят
от момента начала наблюдения. Специфическими
являются предположения об ординарности
потока и об отсутствии последействия.
Эти предположения в совокупности
означают, что вероятность отказа
работающего в данный момент времени
устройства не зависит от того, насколько
долго устройство работало до настоящего
момента. Интенсивность отказов для
простейшего потока является константой,
.
Это положение противоречит типичному
поведению интенсивности отказов,
показанному на рис. 1.1.
Можно говорить о том, что данная модель характеризует поведение устройств на интервале нормальной эксплуатации (после приработки и до начала старения). Кроме того, такое поведение характерно для ситуаций, когда отказы обусловлены внешними случайными факторами. Однако основное свойство данной модели, определяющее ее широкое применение – удобство при использовании для теоретического исследования характеристик отдельных устройств и систем на их основе.