10. Жорданові нормальні форми матриць.

Жорданова нормальна форма матриць.

Хай , .Поняття Жорданової клітини: .

Приклад: ,

Що означає , що матр. має жорданову норм. форму :

Одже Жордановою наз матриця утворена з клітин Жордана, розташованих вздовж головної діагоналі, а решта елем цієї матр – 0.

Поле наз алгебраїчно замкненим якщо кожен многочл з коеф в цьому полі – корінь.За основною теор алгебри поле комплексних чисел алгебраїчно замкнене. Позначимо через С мн комплексних чисел. Підмін F наз числовим полем, якщо містить 1 та F замкнена відносно додавання, віднім, множ та ділення на числа відмінні від 0. Замкненість підмін відносно якоїсь операції, напр. Додавання, означає, що застосувати цю операцію до елементної підмін, ми одержимо елемент. (Поле раціональних чисел це найменше числове поле).Кільце многочл над полем F наз сукупність усіх многочленів від однієї змінної х з коеф , що належить полю F .

Теор Жордана Нехай F алгебраїчне замкнене поле , А квадратна матр, елементи якої належать цьому полі. Тоді матр А подібна до деякої Жорданової матр, тобто знайдеться така не вироджена матр: , де В має жорданову нормальну форму.

Д: Для нього деякі озн.:

Нехай L лін простір над полем F. Лін оператор на нільпотентним(потенційно нульовим), якщо знайдеться таке натур число т, що оператор тотожньо нульовий(нуль оператор всі вектори відображає в нуль вертор).Найменше число т для якого викон це співвідношення наз показником нільпотентності. Квадратна матр А наз нільпотентною якщо знайдеться таке натур число т, що =нуль матриці. Найменше число т для якого викон це співвідношення наз показником нільпотентності матриці.

Визначник нільпотентної матр =0. Але обернене не вірно.

Якщо простір L скінч вим, то лін опер А нільпотент тоді і тільки тоді, коли, його матр в базисі нільпотент.

Т про розщеплення лін опер: Нехай а лін опер над полем f і -добудок попарно простих множників , тоді пряма сума , при чому викон:

1.Для підрп інваріантний відносно А

2. Для оператор діє на , як тотожньо нульовий

Т про будову нільпотентного опер: Нехай прост L скінч вим над деяким полем F .Нехай А нільпот опер, що діє на L. Тоді можна вибрати такий базис прост , в якому матр опер А- Жорданова.

Твердження: розміру n* n. подібні коли вони мають одн. норм. Жорд. форми(НЖФ).

Зауваження: 1) Матр. мають одн. НЖФ , якщо останні відр. розташ. жорд. клітин.

2) Тв.про існ. жорд. нор.форми залиш. дійсним для , якщо

-має тільки дійсні корені.

Означення: Базис -наз. жордан. базисом , якщо в цьому базисі відпов. матрице , що має ЖНФ.

Теорема: Для довільного лін. перетв. існує жорданів базис.

Доведення Т Жордана:

Нехай А лін опер на скінченно вим над . Так як алгебраїчно замкнене на оператора А, над цим полем можна розкласти у добуток лін множників , де

Позначимо многочлен . Тоді .

Многочлени попарно взаємно прості, тому за теор про розщеплення лін опер .Кожен інваріантний відносно А і .Звідси, якщо в кожному , для опер А існує морданів базис то об‘єднання цих базисів – жорданів базис. Нехай А_і звуження А на. За теор про розщеплення лін опер , оператор діє на , як тотожньо нульовий опер, тобто =0.Тому або

Оператор нільпотентний, тому за теор про його будову для нього існує морданів базис із , жордановий і для А_і, тобто у кожному , для відповідних звужень А існують Жорданові базиси . Ці базиси Жорданові і для А, а їх об‘єднання дає Жорданів базис всього простору для А

13