6. Лінійні оператори простої структури.

L-лін. пр-р над полем F; dim L  n.

О. A:LL- оператор простої структури (ОПС), якщо L можна представити у вигляді простої суми одновимірних пр-рів інваріантних відносно А:

LL₁L_n .

Т. Для оператора А слідуючі 3 умови рівносильні :

1. А- ОПС ;

2.  базис Б пр-ру, що скл-ся з власних векторів;

3. в деякому базисі матриця оп-ра - діагональна.

Д.

(1)(2)

А- ОПС. Розглянемо розклад пр-ру L в пряму суму одновимірних підпр-рів

а₁L₁a_nL_n ; ₁a₁_na_n

О. Cума є прямою, якщо  вектор хR можна однозначно записати у вигляді хх₁х_n, x_iL_i.

Так як а₁а_n- базис пр-ру L, то  вектор х однозначно записується

х₁а₁_na_n.

Аа_iL_i так як L_i - інваріантний; з іншого боку Аа_i_ia_i  a_i - власний вектор з власним числом _i.

(2)(3)

Фіксуємо базис пр-ру L, що скл-ся з власних векторів оп-ра А:

A_Б (*)

А(а₁)=₁а₁ А(а_n)=_nа_n

(3)(1)

Припустимо, що в деякому базисі Б:а₁а_n лін. оп-ру А відповідає діагональна матриця (*), тоді з визначення матриці оп-ра випливають співвідношення

Aa₁₁a₁Aa_n_na_n  ці вектори власні.

LL₁L_n, L_ia_i

Підпростір L_i інваріантний відносно оп-ра А

Ba_i ABAa_iAa_i_ia_iLi.

Л. Нехай а₁ ... a_k власні вектори лінійного оп-ра А, що відповідаютьрізним власним значенням, тоді ці вектори лін. незал.

Д. Індукцією по числу к.

Нехай к1 А(а₁)₁а₁, система з одного ненульового вектора є лін. незал.

Припустимо, що ми довели лему, коли число векторів  к і розглянемо систему к1 векторів з різними власними значеннями. Припустимо, що деяка лін. комбінація цих векторів .

₁а₁_ка_к+_к+1а_к+1 

Подіємо на це співвідношення лін. оп-ром А:

А₁а₁_к+1а_к+1 

₁₁а₁_к+1_к+1а_к+1

Помножимо перше співвідношення на _к+1 і віднімемо від другого

₁₁_к+1а₁_к_к_к+1а_к .

За припущенням незалежні вектори а₁а_к

₁₁_к+10_к_к_к+10  ₁_к0  _к+1а_к+1 

власний вектор за визначенням 0  _к+10.

Т. (достатня умова лін. ОПС)

Нехай А:LL dimLn, якщо характ. мн-н лін. оп-ра А має n різних коренів, то А- ОПС.

Д.

₁_n різні корені хар-го мн-на оп-ра А.

Ми знаємо, що  з цих коренів є власним числом оп-ра А. Виберемо відповідний власний вектор а₁а_n. За лемою ці вектори лін. незал.

 утворюють базис пр-ру L  знайшли базис пр-ру L, що скл-ся з власних векторів  А- ОПС.

Позначимо через V₁V_k відповідні підпр-ри власних векторів.

Л. Сума підпросторів є прямою

V₁V_kV₁V_k

V₁V₂V_k

Критерій лін. ОПС

А:LL dimLn є ОПС  коли

1) характ. мн-н розкладається на лін. мн-ни

₁_k -різні

2) LV₁V_k

Алгоритм ОПС:

1. Знаходимо матрицю оп-ра А в певному базисі Б.

2. Підраховуємо по матриці характеристичний мн-н (t).

3. Знаходимо всі корені хар. мн-на.

4. ₁_k- різні корені.

5. Для кожного ik знаходимо базисну систему коренів, m_і - кількість коренів. (A-_iE)0

6. Якщо m₁+...+m_kn, то А-ОПС, якщо n, то - ні.

7. Лінійні оператори дійсних евклідових просторів.

Озн евклідового простору.

L,R, x,y  L (x,y) R, що називається їх скалярним добутком, при цьому

1)(x,y)=(y,x)

2)(x,y+z)=(x,y)+(x,z)

3)(x,y)= (x,y)

4)(x,x)0, (x,x)=0x=0, тоді простір L з заданим скалярним добутком є евклідовим простором.

Є два основні типи операторів у евклідових просторах: самоспряжені і ортогональні.

А:LL, А^* називають спряженим до оператора А, якщо для довільних x,yL.(A(x),y)=(x,A(y)). Оператор А самоспряжений, якщо А=А^*.А- самоспряжений, якщо в деякому ортонормованому базисі йому відповідає симетрична матриця.

Теорема про будову спряженого оператора:

Для довільного самоспряженого оператора можна вибрати ортонормований базис, що складається із власних векторів даного оператора.

Наслідок:Нехай А-квадратна матриця з дійсними елементами, якщо А- симетрична, то існує матриця Т з дійсними коефіцієнтами: Т^-1АТ=D(діагональна).

Лінійний оператор А:LL називається ортогональним якщо для довільних x,yL.(A(x),А(y))=(x,y).

Квадратна матриця з дійсними елементами називається ортогональною, якщо А^T=А^-1

Теорема: Для А:LL (L- евклідовий простір) такі твердження еквівалентні:

1)А-ортогональний.

2)А переводить ортонормований базис в ортонормований.

3)В ортонормованому базисі оператору А відповідає ортогональна матриця.

Дов.

12:Нехай А ортогональний оператор, а Б- ортонормований базис, оскільки А зберігає довжину і кут між векторами, то базис Б переводиться оператором А в ортонормований.

Навпаки: нехай Б=a₁,..., a_n Б^’=b₁,...,b_n=А(a₁),..., А(a_n).

Треба довести,що А ортогональний.

x=₁ a₁ +...+_n a_n; y=₁ a₁ +...+_n a_n.

(x,y)= ₁₁+...+_n_n

(A(x),A(y))=(₁b₁+...+_nb_n, ₁b₁+...+_nb_n)=₁₁+...+_n_n(A(x),A(y))=(x,y)

13

А ортог. коли для довільних x,y, (x,y)=(A(x),A(y)) (x,A^*A(y))  A^*A=A^*=A^-1

AA, A^*A^T, A^-1A^-1, A^-1=A^*  A^-1=A^T  коли А - ортогональна.

Теорема про побудову ортогонального оператора.

Нехай А - ортогональний оператор. А:LL (L- евклідовий простір), тоді L=L₁... L_k. dim L_i=1 або 2. Якщо dim L_i=1, то А діє на прямій L_i як тотожний оператор або дзеркальне відображення. dimL_i=2, то А діє на площині, як поворот на деякий кут .

Наслідок: Для довільної ортогональної матриці А існує така ортогональна матриця Т:

, де B₁,..., B_kклітини розмірності 1 або 2.

Якщо dimB_i=1, то B_i=I₁. Якщо dimB_i=2, то .

Теорема про будову невиродженого оператора на евклідовому просторі:

Нехай А:LL,А - невироджений, тоді існують такі ортогональний оператор H і самоспряжений F: A=HF.