3.Лінійна залежність та ранг системи векторів, методи обчислення рангів.
Будь-яку
скінченну послідовність
назвемо
системою векторів. Вектори в системі
можуть повторюватись.
-
лінійна комбінація системи векторів з
коєф. 1,2...m.
Якщо 1= ... m=0 тоді лінійна комб.=0. Така комбінація тривіальна. Отже лін. комб. нетрівіальна, якщо серед коєфіціентів є принаймі 1 відмін. від 0.
С-ма
вект
наз
лін залежн якщо існує нетрив лін комбін
вект що =0. Отже
система
лін незал за означ якщо тількі трив лін
комбін=0. С-ма векторів
лін незал якщо з того, що лін комб =0
що вона трив.
Властивості лін зал і лін незал с-м векторів
А)С-ма векторів, яка містить 0-вектор - лін залежна.
Б) Критерій лінійної залежності.
С-ма
векторів
лін зал тоді і тількі тоді, коли принаймні
1 із векторів цієї с-ми лін вираж через
інші.
С) Якщо до лін залеж с-ми дописать якийсь вектор, то с-ма залиш лін залеж.
Д) Якщо з лін незал с-ми викинути якийсь вектор, то с-ма буде лін незал.
Лема:
Нехай в просторі
маємо
дві с-ми векторів
та
.
Всі в-ри 1-ї с-ми лін. вираж. через 2-гу
си-му. Тоді якщо
,
то перша с-ма лін зал..
Інше
формулювання: Нех.
та
дві
с-ми в-рів. Всі в-ри 1-ї с-ми лін. вираж.
через 2-гу си-му. Якщо перша с-ма лін.
незал., то
.Лін
незал с-ма векторів не може лін. вираж
через з меншим числом век-рів.
Далі
в пр-рі
розглянемо с-му векторів
.Ця
с-ма векторів наз стандартним базисом.
Властивості:
1.Всі ці в-ри лін незалежні
2.Базис
век-рів з
лін вираж через в-ри
.
Поняття рангу.
Рангом с-ми вер-рів наз мах кількість лін незал в-рів в цій с-мі.
Т1(про
ранг) С-ма век-рів має ранг
коли
в цій с-мі існує
лін
незал в-рів, через які лін вираж всі інші
век-ри с-ми.
Т2(про ранг) Якщо до с-ми в-рів дописати в-р, який лін вираж через в-р с-ми, то ранг с-ми не змінюється. Якщо з с-ми в-рів відкинути в-р, який лін вираж через інші в-ри с-ми, то ранг с-ми не змін.
Т3(про ранг)Елементарні перетворення с-ми в-рів не змінюють її ранг.
Ранг матриці:
Нехай дана матриця А, з дійсними елементами:
Рядки
цієї матриці можна вважати як вектори
довжини т . Горизонтальним рангом
матриці А, або рангом за рядками наз
ранг с-ми ве-рів
і
позначають
.
Аналогічно стовпчики матриці розглядаються
як в-ри довжиною т
.
Вертикальним рангом матр А або рангом
за стовпчиком наз ранг с-ми в-рів
і
позначаємо
.
Мінором
-го
порядку матр
,де
наз визначник побудований на перетині
деяких
рядків
та
стовпчиків
матриці. Оточуючим для цього мінора
наз мінор порядку
матриця якого містить матрицю мінора
.
Мінор
матр А наз базисним, якщо
або оточуючих мінорів не існує або
.
Т(про
базисний мінор) Нехай
-
базисний мінор матрА. Тоді
1.Рядки матр А на яких буд. цей мінор лін незал
2.Всі інші рядки лін вираж через інші
Т (про ранг матр)Ранг матр горизонтальний, вертикальний та по мінорам співпадають.
Методи обчислення рангів
1.Метод оточення мінорів
Шукаємо
базисний мінор. Якщо матр не=0, то ранг
матр =0. Якщо ні, то знаходимо деякій не
0 мінор 1-го порядку
,
фіксуємо його. Знаходимо для нього всі
оточуючи. Якщо вони=0, то за озн ранг
матр=1, інакше фіксуємо деякий мінор
2-го порядку, що не=0.І так далі. На к-му
кроці одержимо мінор к-го порядку, який
не =0, для якого всі оточуючи нульові
або не існують. Тоді ранг матр А=к,
2.Метод елементарних перетворень
До елементарних перетворень матр. Що не змін рангу матр є:
А)перестановка рядів
Б)домноження рядка на не 0 число
В)додавння до рядка іншого рядка домноженого на число.
Аналогічні перетворення виконуються і із стовпчиком.