3. Двоїсті задачі лінійного програмування. Теореми двоїстості.

Нехай вихідна ЗЛП записана в стандартній формі:

(1)

де.

Розглянемо допоміжну задачу: в області допустимих рішень знайти оцінку знизу цільової функції cx.

Так як , то для довільного вектора маємо

Нехай вектор u задовольняє обмеженням чи, що те саме, . Тоді .

Природно очікувати також, що

В зв’язку з сказаним, визначимо двоїсту до СЗЛП (1) задачу:

(2)

Тільки що доведено твердження.

Лема 1. Цільові функції прямої (1) та двоїстої (2) задач ЛП при допустимих значеннях x та u задовольняють співвідношенню .

Запишемо також пряму та двоїсту до неї задачу ЛП в координатній формі.

Пряма СЗЛП:

Двоїста ЗЛП:

Якщо пряма ЗЛП задана в стандартній формі, то двоїста до неї не містить прямих обмежень на змінні . Змінні наз. двоїстими (чи множниками Лагранжа).

Побудуємо двоїсту задачу до загальної ЗЛП. Нехай вона має вигляд:

(3)

Запишемо цю задачу в стандартній формі:

де , I - одинична матриця розмірності mxm. Відповідно з даним визначенням, двоїстою задачею до вказаної СЗЛП, а, значить, і до ЗЗЛП виду (3), буде задача:

чи (4)

Неважко переконатися, що двоїстою задачею до (4) буде задача (3). Ці задачі наз. Симетричними двоїстими задачами ЛП.

Аналогічним чином можна розглянути довільну ЗЗЛП та знайти двоїсту до неї задачу. В загальному випадку поняття двоїстості взаємне, тобто задача, яка є двоїстою по відношенню до двоїстої, співпадає з вихідною (початковою). Тому кажуть не про пряму та двоїсту до неї задачу, а про пару двоїстих задач.

Приклад. Наступні дві задачі є парою двоїстих задач ЛП:

(беремо з мінусом у двоїсту)

(будуть нерівності в 1,3,5 обмеженнях двоїстій задачі)

(2, 3 обмеження в прямій були нерівностями)

І Теорема двоїстості 1) Якщо одна з двоїстих задач має оптимальне рішення, то і інша також має оптимальне рішення, причому оптимальні значення відповідних цільових функцій співпадають. 2) Якщо цільова функція однієї з двоїстих ЗЛП не обмежена (для з-чі мінімізації - знизу, для з-чі максимізації - зверху) на допустимій множині, то друга задача не має допустимих рішень.

Доведемо першу частину теореми. Нехай пряма ЗЛП задана в стандартній формі

Двоїста до неї задача має вид:

Позначимо через оптимальне рішення прямої задачі та припустимо, що цьому рішенню відповідає базис та базисна матриця . Перейдемо від СЗЛП до КЗЛП

при цьому . Замітимо, що . В силу критерію оптимальності, для рішення .

Позначивши через , перепишемо останню нерівність в матричному виді чи (використовуючи той факт, що ) . Нехай . Тоді чи і, - допустиме рішення двоїстої задачі. Підрахуємо значення цільової функції двоїстої задачі в точці . Враховуючи, що та , отримаємо

(мінімум береться по всім x таким, що ), звідки слідує, що

(5)

Лема стверджує, що при обмеженнях та . Звідси

(6)

Порівнюючи (5) і (6), отримаємо, що при умові існування оптимального рішення прямої задачі існує оптимальне рішення двоїстої задачі і при цьому .

Аналогічно доводиться, що якщо існує , то існує і , та .

Доведемо другу частину теореми. Нехай цільова функція прямої задачі не обмежена знизу на допустимій множині. Раніше доведено, що для всіх припустимих x та u виконується нерівність . Отже для всіх допустимих u, цільова функція двоїстої задачі і тому двоїста задача не може мати допустимих рішень. Аналогічно, якщо цільова функція двоїстої задачі не обмежена зверху на допустимій множині, то пряма задача не має допустимих рішень.

Доведення закінчено.