2.5. Взаимодействие струй с преградой

2.5.1. Определение критического угла при отражении струи от наклонной плоскости

Несжимаемая плоская струя

Схема натекания несжимаемой плоской струи на преграду под углом к оси струи представлена на рис.2.23.

Уравнения сохранения:

• массы: ;

• импульса: ;

.

Рис.2.23. Схема натекания несжимаемой плоской струи на преграду

Отсюда ;

.

Векторы количества движения , прямого и обратного течения на преграде и находятся в равновесии с силой реакции преграды (см. схему на рис.2.23). При угле наклона преграды должно обеспечиваться и . Это будет выполняться только из условия при . То есть несжимаемая плоская струя критического угла не имеет.

Сжимаемая плоская струя

Уравнения сохранения будут аналогичны, однако при условии будет

;

.

Так как , то . Поскольку , то .

Тогда

,

где ;

,

где ;

;

; ;

; .

При полном отражении , и .

Для обеспечения должно быть: .

Так как в сжимаемом потоке , то для плоского сжимаемого потока будет существовать . Это условие реализуется из-за уменьшения скорости стекающего потока и его количества движения. Значение критического угла можно определить, зная величину потерь полного давления за скачками на преграде ():

;

;

,

или .

Условие полного отражения сжимаемого потока может быть реализовано при присоединенном косом скачке (рис.2.24). Значение, при котором скачок будет отходить от преграды, можно определить с помощью ударной поляры.

Рис.2.24. Присоединенный скачок и образование обратного течения при отошедшем скачке

Для этого рассмотрим графическое построение косого скачка для натекания потока со скоростью , при известной величине натекания на преграду с углом . Эпюра скоростей на косом скачке представлена на рис.2.25. Поляра дает значение вектора после скачка как при регулярном отражении скачка при угле клина , так и при отошедшем скачке, включая косой скачок.

Направим ось по линии вектора . Построим в плоскости годографа скорости линию . Обозначим для упрощения записи и .

Для прямого скачка имеет соотношения для скоростей до и после скачка .

Рис.2.25. Эпюра скоростей на косом скачке

При построении поляры для течения с косым скачком рассматриваются тангенциальная и нормальная составляющие скорости набегающего потока к фронту скачка. Для нормальных составляющих к фронту скачка используется соотношение, имеющее место при прямом скачке:

,

где – скорость звука частичного торможения.

Скорость определяется из критической скорости потока за вычетом эффекта торможения тангенциальной составляющей:

.

Это соотношение следует из уравнения энергии, учитывающего отсутствие энергии торможения от составляющей :

,

где – температура частичного торможения.

Одновременно

,

где , – статическая температура потока до и после скачка. Порядок построения (графического) ударной поляры приведен ниже.

Для нахождения искомой зависимости используем основное уравнение косого скачка

.

Подставив в это уравнение значения и из соотношений (см. рис.2.25)

находим

так как (см. рис.2.25) .

Преобразуем полученное уравнение к виду

Отсюда, полагая, что , получаем

.

Полученное уравнение в плоскости описывает кривую второго порядка, симметричную относительно оси , называемую гипоциссоидой (рис.2.26) – ударной полярой.

Рис.2.26. Ударная поляра

Как видно из уравнения ударной поляры, либо в том случае, если , либо если . Первый случай соответствует точке (см. рис.2.26), или бесконечно малому возмущению (волна Маха); второй случай соответствует точке – прямому скачку уплотнения. Бесконечные ветви ударной поляры, начальные участки которых и имеют асимптоту, соответствующую значению , при котором третья скобка уравнения ударной поляры обращается в нуль; при этом ,

.

Как видно из рис.2.26, на этих ветвях ; они соответствуют скачкам разрежения и, следовательно, физически не реализуются. Замкнутая же часть ударной поляры отвечает скачкам уплотнения: здесь .

Возьмем на ударной поляре некоторую произвольную точку ; ей соответствует вектор скорости . Восстанавливая к перпендикуляр из точки , найдем направление фронта скачка уплотнения . На рис.2.26 штрихами нанесена также окружность радиуса (скорость звука набегающего потока).

Таким образом, при заданном показателе адиабаты можно построить серию ударных поляр, различающихся лишь положением точки , то есть величиной скорости . Для расчета точек ударной поляры уравнение ударной поляры целесообразно преобразовать к безразмерной форме, введя , , . При этом уравнение ударной поляры примет вид

.

График на рис.2.26 построен на базе расчетов, проведенных по полученной формуле для и . Количественную информацию из этого рисунка можно получить, если положить и .

С помощью ударной поляры удобно решать различные простейшие задачи с косыми скачками уплотнения. Пусть, например, задан угол наклона преграды , обтекаемого потоком со скоростью . Через точку проводим под углом луч , пересекающий ударную поляру в точках и , каждая из которых отвечает одному из двух возможных значений скоростей и направлений скачка уплотнения. Так, для большей скорости : – направление фронта скачка . Аналогично этому можно найти и направление фронта скачка для второго дозвукового значения скорости .

Отметим, что, как правило, одно значение – сверхзвуковое, а другое всегда дозвуковое. Каждое из этих значений определяет свое давление за скачком. Как видно из рис.2.26, существует значение , соответствующее касанию вектора к ударной поляре. При косой скачок существовать не может, и перед преградой образуется отошедший от преграды прямой скачок уплотнения (рис.2.24).

Если задано значение – точка и направление косого скачка уплотнения , то, восстанавливая к из точки перпендикуляр, найдем точку как пересечение с ударной полярой.

Влияние растекания струи по преграде на величину критического угла отражателя

Если явление сжимаемости уменьшает вектор количества движения струи пропорционально , то растекание струи в стороны под углом по преграде тоже приводит к уменьшению вектора . Это уменьшение можно оценивать отношением суммы проекций количества движения элементарных струй на ось к количеству движения исходной струи, приняв , то есть без учета сжимаемости. Если представить схему течения струи на пластине с полюсом растекания согласно рис.2.27-a, то при растекании струи по преграде с критическим углом полюс будет располагаться в верхней части проекции на преграду границы струи (рис.2.27-б).

Согласно схеме, проекция вектора на ось будет . Элементарный расход массы через сечение струи будет . Проекция единичного вектора количества движения на ось будет

.

Тогда, учитывая геометрические соотношения (рис.2.27-б), получим

.

Поскольку при полном отражении будет иметь место

,

то .

Рис.2.27. Схема растекания струи по преграде в зависимости от угла

Интегрируя и подставляя пределы, получим

,

где – функция волновых потерь скорости. Значение при различных можно получить из графика рис.2.28.

Рис.2.28. Зависимость преграды от потерь с учетом растекания

Как видно из графика для принятой схемы растекания уже при потерях , равных 10%, .