1.2.3. Примеры решения задач по электричеству и магнетизму

Задача 1. Два равных отрицательных заряда по 9 нКл находятся в воде на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов.

Дано:		Рис.3
Найти:	Е,φ

Решение: Напряженность поля в точке А (рис. 3) по принципу суперпозиции равна:

По теореме косинусов:

Напряженность поля точечного заряда:

По условию , следовательно,. Тогда:

Но поэтому:

и результирующая напряженность равна:

Обозначим АВ = h. Тогда   

По теореме Пифагора:

Потенциал φ результирующего поля в точке А равен:

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, равен:

Но по условию . Тогда , следовательно:

Проверка размерности:

Ответ:   Е = 480 В/м; φ = -40 В.

Задача 2. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30º к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Индукция магнитного поля равна В =. Найти радиус витка и шаг спирали.

Дано:		Рис.4
Найти:	R, h.

Решение: Скорость электрона найдем из условия, что работа сил электрического поля затрачивается на изменение кинетической энергии электрона:

А = ΔW. Работа в электрическом поле равна произведению заряда на разность потенциалов: А = qU. Начальная кинетическая энергия равна нулю, поэтому ΔW = W. Следовательно:

    отсюда     .                 (1)

Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, на две составляющие: - составляющая скорости, направленная вдоль силовых линий поля и - составляющая скорости, направленная перпендикулярно силовым линиям поля. Из рис. 4:

Проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к , представляет собой окружность, следовательно, сила Лоренца сообщает частице нормальное (центростремительное) ускорение. Сила Лоренца равна:

Центростремительное ускорение:

где R - радиус окружности. По второму закону Ньютона: F = ma.

Тогда:                    

Отсюда:                                             (2)

Период обращения равен:

Так как скорость частицы имеет составляющую , то траектория частицы представляет собой винтовую линию. Шаг винтовой линии равен:

                        (3)

Проверка размерности расчетных формул (2) и (3).

Размерность произведения [q]·[B] найдем из выражения для силы Лоренца:

По второму закону Ньютона: F = ma, т.е.

Тогда:                    

Следовательно,                    

Подставим численные значения в (1), (2) и (3).

Ответ:   R = 1 см, h = 11 см.

Задача 3. Проволочное кольцо радиусом 10 см лежит на столе. Какой заряд потечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую. Сопротивление кольца 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 50 мТл.

Дано:
Найти:	q

Решение: По определению сила тока равна производной от заряда по времени:

Отсюда заряд, который потечет по проводнику, определяется равенством:

                        (1)

По закону Ома для замкнутой цепи сила тока равна:

                        (2)

где ε - ЭДС источника, R - сопротивление цепи.

Ток в кольце появляется благодаря ЭДС индукции. Поэтому . ЭДС индукции найдем по закону Фарадея-Ленца:

                        (3)

где - скорость изменения магнитного потока.

Подставим (3) в (2):

                        (4)

Подставим (4) в (1):

                        (5)

Проинтегрируем (5), получим:

где - магнитный поток, пронизывающий кольцо после поворота на угол180?;

- магнитный поток до поворота. и вычисляются по формулам:

где В - индукция магнитного поля, - площадь кольца, α - угол между нормалью к площади кольца и линиями индукции.

Тогда:                    

Проверка размерности:

Так как     

Размерность индуктивности найдем из закона   

По закону Ома:   

Тогда:                    

Вычислим q. Учтем, что до поворота нормаль к площади кольца параллельна вектору . Поэтому α₁ = 0. После поворота нормаль противоположно направлена вектору . Поэтому α₂ = 180°. Тогда:

Ответ:   q = 3,14 мКл.