1.2 Фільтри Баттерворта

Якщо в (2) і (3) прийняти коефіцієнти d₁ = d₂ =...= d_m-1 = 0, d_m = 1,то з урахуванням нормованої частоти отримаємо:

, (4)

. (5)

Поліноми В_m(Ω) = Ω^m відомі під назвою поліномів Баттерворта.

Iз (4) і (5) слідує, що на частоті Ω = 0 значення квадрата АЧХ дорівнює одиниці, а робочого затухання – нулю.

Зі зростанням частоти квадрат АЧХ фільтра Баттерворта зменшується, а робоче затухання плавно зростає до нескінченності. Таким чином, вирази (4) і (5) наближено відображають характеристики ідеального фільтра.

Для того, щоб ці характеристики відповідали вимогам до фільтра, необхідно мати робоче затухання (5) у смузі пропускання менше А_рmax, а в смузі непропускання більше А_рmin. Першу умову можна задовольнити, якщо на граничній частоті (Ω = 1) покласти рівність: тоді 1 + d₀ = exp; d₀ = e^2Apmax - 1.

Величина Е=називається коефіцієнтом нерівномірності затухання в смузі пропускання фільтра, де А_рмах вимірюється в неперах, якщо в децибелах, то справедливе співвідношення Е=.

З урахуванням уведених позначень:

, (6)

[Hp], (7)

Ар = 10lg (1+E²Ω^2m) [Дб]. (8)

Наведемо графічні залежності отриманих функцій (рис. 1):

Відмітимо, що крутизна частотних характеристик залежить від ступеня m, тобто чим більше m, тим вище крутизна характеристик.

Отже, для задоволення вимог в смузі непропускання, необхідно вибрати відповідний порядок фільтра-m, який визначається визначити за умови:

Ap(Ω₃) ≥ Ap_min;  e^2Apmin;  ≥  (e^2Apmin - 1).

Після логарифмування отримаємо 2mlnΩ₃ ≥ ln.

Остаточно маємо

, (9)

. (10)

Передавальну функцію фільтра Баттерворта можна отримати з (6), якщо покласти jΩ = р, тоді

|Hp(p)|² = Hp(p)Hp(-p) = . (11)

Визначимо корені знаменника, тобто полюси функції Нр(р)*Нр(-р) окремо для парних і непарних значень m.

Для парних m: 1 - E²p^2m = 0 i p_k = , k = 1, 2,…, 2m.

Оскільки -1 = exp[j(2k - 1)π] = cos(2k - 1)π + jsin(2k - 1)π, то

p_k = .

Для непарних m p_k = , k = 1, 2,…, 2m – 1.

Тоді вираз (11) набуває вигляду:

Hp(p)*Hp(-p) = .

Вибравши полюси, розташовані в лівій напівплощині комплексної змінної р, отримаємо передавальну функцію, що фізично реалізується фільтром Баттерворта виду:

Hp(p)=H, (12)

де Н = .

Використовуючи позначення B_m(Ω) = Ω^2m -полінома Баттерворта, можна представити частотні характеристики фільтра Баттерворта в наступній формі:

|Hp(jΩ)|² = , (13)

Ap(Ω) =  [Hп], (14)

Ap(Ω) = 10lg [1+E²B²_m(Ω)] [Дб]. (15)

Фільтри Баттерворта називають також фільтрами із максимально плоскими характеристиками затуханням в смузі пропускання.

1.3 Фільтри Чебишева

Формули типу (13)-(15) за своєю структурою є універсальними. Достатньо замінити в них поліном Баттерворта на деякий інший поліном, і можна отримати новий вид фільтра. Наприклад, якщо замість полінома В_m(Ω) використати так званий поліном Чебишева тоді отримаємо:

; (16)

Ар(Ω) =  [Hп]; (17)

Ар(Ω) = 10lg [Дб]. (18)

Т_m(Ω) – поліном Чебишева степеня m, Е – коефіцієнт нерівномірності в смузі пропускання фільтра. Фільтри із характеристиками (16) – (18) називаються фільтрами Чебишева. Розглянемо шість поліномів Чебишева:

Т₀(Ω) = 1, Т₁(Ω) = Ω, Т₂(Ω) = 2Ω² – 1, Т₃(Ω) = 4Ω³-3Ω,

Т₄(Ω) = 8Ω⁴ - 8Ω²+1, Т₅(Ω) = 16Ω⁵ - 20Ω³ + 5Ω.

Будь-який поліном Чебишева при m ≥ 2 може бути розрахований за рекурентною формулою: T_m(Ω) = 2ΩT_m-1(Ω) – T_m-2(Ω), тому співвідношення (16) – (18) задовольняють загальним виразом (1) – (3) характеристик поліноміальних фільтрів.

Існує єдина тригонометрична форма запису поліномів Чебишева в інтервалі –1  Ω  1:

T_m(Ω) = cos(m·arсcosΩ). (19)

Дійсно, Т₀(Ω) = cos(0arсcosΩ) = 1, T₁(Ω) = cos(1arсcosΩ) = Ω,

T₂(Ω) = 2cos(2arсcosΩ) – 1 = 2Ω² – 1. За межами інтервалу –1  Ω  1 полiноми T_m(Ω) також представляються в тригонометричній формі

T_m(Ω) = ch(m·arcchΩ). (20)

Аналiз поведінки полiномiв Чебишева показує, що в iнтервалi –1  Ω  1 кут θ = arccosΩ змінюється вiд –π (при Ω = –1) до нуля (при Ω = +1) і m + 1 разiв досягає значень рiвних “+1” або “-1”. Зовнi iнтервалу –1  Ω  1 T_m(Ω) відповідно до формули (20) монотонно зростає.

Згiдно iз (18) робоче затухання Ар(Ω) = 0 фiльтра Чебишева на тих частотах, де полiном T_m(Ω) перетворюється в нуль. На частотах, на яких T_m(Ω) = ±1 робоче затухання досягає величини

Ар = 10lg(1 + E²) = 10lg(1 + 10^0,1Apmax - 1) = Ap_max.

Зі зростанням значень полiнома T_m(Ω) на частотах Ω > 1 робоче затухання Ар(Ω) також монотонно зростає.

На рисунку 2 приведений графiк робочого затухання фільтра Чебишева четвертого порядку.

Фiльтри Чебишева називають також фiльтрами iз рiвнохвильовими характеристиками загасання в смузi пропускання.

Для того щоб характеристики фiльтра вiдповiдали вимогам в смузi непропускання, необхiдно вибрати порядок фiльтра m з умови

|Нрexp[-2Ap_min] ураховуючи (20), отримаємо при Ω = Ω₃

m ≥ arch/arch Ω₃ [Hп]; (21)

m ≥ arch/arch Ω₃ [Дб]. (22)

Порiвнюючи частотнi характеристики фiльтрiв Баттерворта і Чебишева, можна бачити, що поліноми Чебишева є поліномами найкращого наближення.

Це означає, що при однакових значеннях m, фільтр Чебишева в смузі непропускання має бiльше затухання, нiж фiльтр Баттерворта. Однак характеристика робочого затухання фiльтра Баттерворта в смузi пропускання має монотонний характер і тому легше пiддається коректуванню для усунення спотворень передаваних сигналів.

Вибір типу полiномiнальних фільтрів визначається конкретними умовами їх застосування в радіотехнічних пристроях.

Для отримання передавальної функцiї фiльтра Чебишева замiнимо оператор jΩ на оператор р і перейдемо вiд функції |Нр(jΩ)|² до функції

|Нр(р)|²=Hp(p)*Hp(-p)=.

Ураховуючи (19), знайдемо полюси функції |Нр(р)|², розв’язавши рiвняння

E²cos²(m*arccos(p/j)) + 1 = 0. (23)

p_k=shγ sin, k = 1, 2, …, m (24)

де .

З коренів у лівій напiвплощинi складаються множники типу (р-р_к) і за ними будується передавальна функцiя фiльтра Чебишева:

Hp(p) = H,

де Н = .