Весна 16 курс 3 ОрТОР / Гидравлика / lektsia__11

11. ИСТОЛКОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Рассмотрим смысл уравнения Бернулли с точек зрения г идравлической, геометрической и энергетической.

11.1. ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

Уравнение Бернулли для потока жидкости имеет следующий вид:

+ = + + h_W

С точки зрения гидравлики каждый член уравнения Бернулли имеет свое название, а именно:

1. Первый член правой и левой частей уравнения Бернулли и называется скоростным напором в сечениях 1-1 и 2-2.

Скоростной напор можно наблюдать в действительности.

А

z

Рис. 11.1.

Если в точке А (Рис. 11.1.) рядом с пьезометром поставить изогнутую трубку, обращенную отверстием навстречу потоку, то уровень жидкости в этой трубке будет выше уровня пьезометра на высоту, равную скоростному напору в той точке, где находится отверстие трубки. Эта трубка называется гидрометрической или трубкой Пито. Зная разницу уровней в трубке Пито и пьезометре, можно определить скорость движения жидкости в этой точке.

2. Второй член правой и левой частей уравнения и называется приведенной высотой давления (если учитываем абсолютное давление). Как правило, в расчет принимается манометрическое давление, поэтому в дальнейшем будем называть пьезометрической высотой.

3. Третий член правой и левой частей уравнения z₁ и z₂ называется высотой положения точки живого сечения над плоскостью сравнения.

4. Четвертый член правой части уравнения h_w называется потерей напора при движении жидкости между сечениями 1-1 и 2-2.

Напомним, что сумма пьезометрической высоты и высоты положения z во всех точках живого сечения установившегося, плавно изменяющегося потока одна и та же, т. е. + z = const и называется пьезометрическим напором.

Сумма скоростного напора и пьезометрического напора +z называется гидродинамическим напором H_d.

H_d = + +z.

Учитывая последнее выражение, уравнение Бернулли можно записать в следующем виде:

H_d1 = H_d2 +h_w.

Таким образом, с гидравлической точки зрения уравнение Бернулли может быть прочитано так: гидродинамический напор в данном сечении потока жидкости равен гидродинамическому напору в другом сечении (лежащем ниже по течению) плюс потеря напора между этими сечениями.

11.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

В связи с тем, что все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность, его можно представить графически (см. Рис. 11.2.1.).

Рис. 11.2.1.

Отложим в каждом сечении от плоскости сравнения о-о по вертикали отрезки, выражающие в определенном масштабе , и z. Проведя между сечениями 1-1 и 2-2 линию pp по верхним точкам пьезометрического напора по длине потока. Если расстояние между сечениями по длине потока равно l, то можно получить изменение пьезометрического напора на единицу потока. Обозначив эту длину J_p, называемую средним пьезометрическим уклоном на данном участке, получим

т. е. пьезометрическим уклоном называется безразмерная величина, показывающая изменение пьезометрического напора, приходящегося на единицу длины потока. Пьезометрический уклон может быть величиной положительной – линия pp понижается по направлению движения, когда скорости вдоль потока растут; или отрицательной – линия pp повышается по направлению движения, когда скорости вдоль потока уменьшаются.

Проведя между сечениями 1-1и 2-2 линию NN по верхним точкам гидродинамического напора, получим так называемую напорную линию, которая показывает измерение гидродинамического напора по длине потока. Поделив разность гидродинамических напоров в двух сечениях на расстояние между ними, получим средний гидравлический уклон

i= ,

но H_d1 - H_d2 = h_w - потеря напора между сечениями 1-1и 2; поэтому можно написать

i = ,

т.е. гидравлическим уклоном потока называется безразмерная величина, показывающая изменение гидродинамического напора на единицу длины потока. Заметим, что I может быть только положительной величиной, так как напорная линия NN всегда понижается ввиду того, что потери напора по длине потока неизбежны.

Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение Бернулли можно прочитать так: напорная линия по длине потока всегда понижается, так как часть напора тратится на преодоление трения по длине потока.

Ч а с т н ы й с л у ч а й. При равномерном движении, когда скорость по длине потока не изменяется, напорная линия NN и пьезометрическая pp параллельны, так как во всех сечениях величина одна и та же.

11.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

С энергетической точки зрения уравнение Бернулли представляет собой сумму удельной кинетической энергии и удельной потенциальной энергии + z в любом сечении потока при установившемся движении жидкости, а четвертый член уравнения h_w представляет собой потерю механической энергии на преодоление сил трения при перемещении единицы массы жидкости от сечения 1-1 к сечению 2-2. В связи с этим линию NN можно назвать линией полной удельной энергии потока, а линию pp – линией удельной потенциальной энергии.

Гидравлический уклон с энергетической точки зрения необходимо рассматривать как уменьшение полной удельной энергии на единицу длины потока.

11.4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

При применении уравнения Бернулли для решения практических задач гидравлики следует помнить два основных условия:

1. Уравнение Бернулли может быть применено только для тех живых сечений потока, в которых соблюдаются условия плавно изменяющегося движения. На участках между выбранными сечениями условия плавно изменяющегося движения могут и не соблюдаться.

2. гидродинамическое давление 𝑝 и, следовательно, высоту положения 𝑧 можно относить к любой точке живого сечения, так как + z для любой точке живого сечения при плавно изменяющемся движении есть величина постоянная. Обычно двучлен + z удобно отнести для упрощения задач к точкам или на свободной поверхности, или на оси потока.

Разберем применение уравнения Бернулли на примере простейшего водомерного устройства в трубах водомера Вентури Рис. 11.4.1

Рис. 11.4.1.

Он представляет собой вставку в основную трубу диаметром d₁ трубы меньшего диаметра d_2, которая соединена с основной трубой коническими переходами.

В основной трубе в сечении1-1 и в суженном сечении 2-2 присоединены пьезометры, по показаниям которых можно определить расход жидкости в трубе Q.

Выведем общую формулу водомера для определения расхода в трубе. Составим уравнение Бернулли для точек, расположенных в центре тяжести сечений 1-1 перед сужением и 2-2 в горловине, приняв плоскость сравнения по оси трубы 0-0. Для наших условий z₁ =z₂ =0, α₁ = α₂ =1.

Потери напора в сужении ввиду малости расстояния между сечениями считаем равными нулю, т.е. h_w = 0.

Тогда уравнение Бернулли запишется так:

+ = +, или - = - ,

Но из рис. 11.4.1 - = h, поэтому

h = - .

В последнем уравнении две неизвестные величины υ₁ и υ_2. Составим второе уравнение, используя уравнение неразрывности:

= = ,

откуда υ₂ = υ_1..

Подставим υ₂ в уравнение h = - и получим

h = .

Отсюда скорость течения в основной трубе равна

υ₁ =

расход жидкости в трубе

Q = υ₁ ω₁ = υ₁

или Q = .

Обозначим постоянную величину для данного водомера через К

К = ,

Тогда Q = К .

Однако, при выводе этой формулы не учитывались потери напора в водомере, которые в действительности будут. С учетом потерь напора формула расхода водомера Вентури запишется так:

Q =μК,

где μ – коэффициент расхода водомера, учитывающий потери напора в водомере. Для новых водомеров μ = 0.985; для водомеров бывших в употреблении, μ = 0.98.

Таки образом, для определения расхода в трубе достаточно замерить разность уровней воды в пьезометрах и подставить ей значение в формулу.

Для измерения скорости совместно с пьезометром используется трубка Пито – трубка полного напора. Она представляет собой трубку, изогнутую под прямым углом и установленную навстречу потоку.

Отметим, что если поток жидкости обтекает какое-либо тело, то вблизи тела скорость потока замедляется и в центре области обтекания его образуется критическая точка, в которой скорость равна нулю. В нашем случае критическая точка лежит на оси входного отверстия наконечника трубки, и скорость в отверстии υ = 0.

Уровень жидкости в пьезометре равен h_А =

Разность уровней в пьезометре и в трубке полного напора будет равна скоростному напору h =

Действительно, запишем уравнение Бернулли для точек А и В:

+ = +

Так как p_А = p, υ_А = υ, υ_{В =}0, то = где

– высота жидкости в трубке полного напора;

– высота жидкости в пьезометре.

Отсюда h = h_В -

Тогда υ = h

За счет вязкости жидкости и других отклонений от идеального случая преобразования энергии обычно h , поэтому, чтобы не получать пониженных значений скоростей, вводится коэффициент φ, определяемый для каждой трубки опытным путем:

υ = .