7.11 Разложение в ряд Тейлора – команда taylor
В задачах аппроксимации и приближения функций f(x) важное место занимает их разложение в ряд Тейлора в окрестности точки a:
f(x) = .
Частным случаем этого ряда при a = 0 является ряд Маклорена:
f(x) = .
Для получения разложения аналитической функции f в ряд Тейлора (и Маклорена) служит команда taylor:
taylor(f) – возвращает разложение в ряд Маклорена до шестой степени. В общем случае, когда небходимо получить разложение в ряд Тейлора до n - й степени в точке a, относительно которой находится разложение, используется команда taylor(f,n,x,a).
Примеры разложения в ряды Тейлора и Маклорена функции cos(x):
>> syms x
>> taylor(cos(x))
ans =
1-1/2*x^2+1/24*x^4
>> taylor(cos(x),5,x,2)
ans =
cos(2)-sin(2)*(x-2)-1/2*cos(2)*(x-2)^2+1/6*sin(2)*(x-2)^3+1/24*cos(2)*(x-2)^4
Пример:
Получить разложение в степенной ряд по степеням x «функции ошибок»
Erf(x) = dt,
которая не выражается в конечном виде через элементарные функции.
Решение:
>> syms x t
>> Pi=sym('pi');
>> taylor(2/sqrt(Pi)*int(exp(-t^2),t,0,x))
ans =
2/pi^(1/2)*x-2/3/pi^(1/2)*x^3+1/5/pi^(1/2)*x^5
>> [m]=simple(ans)
m =
1/15*x*(30-10*x^2+3*x^4)/pi^(1/2)
>> pretty(m)
2 4
x (30 - 10 x + 3 x )
1/15 -------------------------
1/2
pi
Команда taylortool приводит к появлению окна приложения, изображенного на рис. 7.1.
Рис.7.1.
Пользователь может вводить формулы различных функций в строке f(x) =
и исследовать приближение функции на произвольном интервале отрезком ряда Тейлора, содержащим различное число членов разложения.
7.12 Вычисление суммы ряда – команда symsum
В математическом анализе часто приходится вычислять сумму значений функции f(i) при условии, что аргумент i этой функции (индекс суммирования) принимает целочисленные значения, изменяющееся в замкнутом интервале [a;b], т. е.
Sum = .
Такие суммы принято называть конечными. При b = ∞ можно говорить о бесконечной сумме (в смысле бесконечного числа членов ряда). Для аналитического вычисления суммы ряда служит команда symsum(f, i, a, b), возвращающая сумму ряда
.
Справку по symsum можно получить, введя команду doc symsum.
Пример:
Найти сумму числового ряда
.
Решение:
>> syms n
>> symsum(1/n^2,n,1,inf)
ans =
1/6*pi^2
Таким образом,
= .
Пример:
Найти сумму числового ряда
.
Решение:
>> syms n
>> symsum((-1)^n/n,n,1,inf)
ans =
-log(2)
В результате получили
= -ln2.
Пример:
Найти сумму числового ряда
.
Решение:
>> syms n
>> symsum(1/n^3,n,1,inf)
ans =
zeta(3)
>> vpa(ans,8)
ans =
1.2020569
Результат выражается через дзета - функцию Римана (справку по этой функции можно получить с помощью команды doc zeta) и равен
= zeta(3) ≈ 1,2020569.
Пример:
Найти сумму числового ряда
.
Решение:
>> syms s n
>> symsum(cos(n*pi)/n^2,n,1,inf)
ans =
-hypergeom([1, 1, 1],[2, 2],-1)
>> vpa(ans,8)
ans =
-.82246703
Результат выражается через гипергеометрическую функцию (справку по этой функции можно получить, введя команду doc hypergeom) и равен
= -hypergeom([1, 1, 1], [2, 2], -1) ≈ -0,82246703.
Возможно суммирование слагаемых, зависящих не только индекса, но и от некоторой символьной переменной. Если в слагаемые входит знак факториала, то в этом случае следует использовать команду sym.
Пример:
Найти сумму функционального ряда
.
Решение:
>> syms x k
>> symsum(x^k/sym('k!'), k, 0,inf)
ans =
exp(x)
Таким образом,
= ex.
Пример:
Найти сумму числового ряда
.
Команда symsum возвращается без результата:
>> syms n
>> symsum(cos(n)/n^2,n,1,inf)
ans =
sum(cos(n)/n^2,n = 1 .. inf)
>> vpa(ans,8)
ans =
sum(cos(n)/n^2,n = 1 .. inf)
Это свидетельствует о том, что система MATLAB не нашла сумму ряда.
Пример:
Найти конечную сумму
.
Решение:
>> syms k
>> symsum(k^2,k,0,10)
ans =
385
Сумма равна 385.
Пример:
Найти конечную сумму с переменным верхним пределом n
.
Решение:
>> syms k n
>> symsum(k^2,k,0,n)
ans =
1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6
>> pretty(ans)
3 2
1/3 (n + 1) - 1/2 (n + 1) + 1/6 n + 1/6
Пример:
Найти конечную сумму с переменным верхним пределом n
.
Решение:
>> syms k n
>> symsum(cos(k*pi/2),k,1,n)
ans =
1/2*sin(1/2*(n+1)*pi)-1/2*cos(1/2*(n+1)*pi)-1/2
Для аналитического вычисления произведения ряда служит команда product. Справку по ней можно получить, введя команду mhelp product.