Рассчитаем следующие показатели. Средняя из внутригрупповых дисперсий:

Проверимвыполнение правиласложения дисперсий:

δ2 +σ 2 = 49,0 +136,6 =185,6 =σ2 .

Находим эмпирическое корреляционное отношение:

Коэффициент детерминации η²= 0,264, т.е. фактор технического обучения, объясняет в данном примере 26,4% вариации производительности труда рабочих, а неучтенные факторы - 73,6 %.

Пример 8. Имеются следующие данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой:

Таблица 8.1

Проверить закон сложения дисперсий.

Решение.

В этой задаче варьирующим признаком является время простоя автомобиля под разгрузкой. Общая дисперсия времени простоя под разгрузкой определяется по формуле:

σ2 = ∑(xi − x)2 fi

∑fi

Для расчета общей дисперсии составим дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты поместим в таблицу 8.2.

Таблица 8.2 - Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

29

x = ∑xi fi = 120 =12(мин.) – среднее время простоя;

∑fi 10

σ2 = ∑(xi − x )2 fi = 150 =15 - общая дисперсия.

∑fi 10

Величина этой дисперсии характеризует вариацию времени простоя под разгрузкойподвлияниемвсехусловий.

Различия в величине изучаемого признака прежде всего возникают под влиянием числа грузчиков, принимающих участие в процессе разгрузки. В связи с этим в совокупности выделяются две однородные группы по числу грузчиков: в первую группу включаются наблюдения при числе грузчиков 3; во вторую группу попадают наблюдения при числе грузчиков 4. Для каждой из выделенных групп определяется внутригрупповая дисперсия, возникающая под влиянием неучтенных факторов. Дляихрасчета используемвспомогательные таблицы 8.3 и 8.4.

Таблица 8.3 - Расчет внутригрупповой дисперсии по первой группе (число грузчиков, участвующих в группе – 3).

x1 = 644 = 16(мин.) ; σ12 = 304 = 7,5.

Таблица 8.4 - Расчет внутригрупповой дисперсии по второй группе (число грузчиков, участвующих в группе – 4)

Средняя из внутригрупповых дисперсий

σ2 = ∑σi 2 fi = 7,5 4 + 2,22 6 = 4,33 .

∑fi 10

Межгрупповая дисперсия, отражающая различия в величине признака под влиянием фактора, положенного в основу группировки, определяется по формуле:

δ2 = ∑(xi − x)2fi = (16 −12)2 4 +(9,33 −12)2 6 =10,68 .

∑fi 10

30

Общая дисперсия (σ2 ) равна сумме средней внутригрупповой дисперсии

и межгрупповой дисперсии, т.е. σ 2 = σ 2 +δ 2 , тогда σ2 = 4,3 +10,68 =14,98 , что и соответствует полученной ранее величине.

Пример 9. В результате выборочного наблюдения предполагаемой зависимости между прожиточным минимумом (признак X ) и заработной платой

(признакY ) получены следующие данные:

Таблица 9.1

Полагая, что зависимость междуX и Y линейная, определить:

1) параметры регрессии; 2) оценить тесноту связи между признаками, используя линейный коэффициент корреляции; 3) оценить меру достоверно-

Для удобства занесем расчеты в таблицу.

a1 = 2,36 > 0 значит, связь между признаками прямая.

31

Полученное значение коэффициента регрессии показывает, что при увеличении прожиточного минимума на 1 ден. ед., заработная плата в среднем увеличивается на 2,36 ден. ед.

2. Оценим тесноту связи.

Т.к. r >0, то связь между признаками прямая, величина коэффициента корреляции говорит о тесной связи между признаками.

3.Оценим меру достоверности полученного уравнения, для этого рассчитаем среднюю квадратическую ошибку уравнения регрессии:

S = ∑ (yi − yx )2 ,

где yi - наблюдаемые значение признака y , yx -теоретические значения признака,

n – объем выборки, m – число параметров регрессии.

Например, y1 = 2,36 0,49 +0,07 =1,2264. Аналогично находим другие yx .

Значит, уравнение yx = 2,36x + 0,07 достаточно хорошо отображает

взаимосвязь рассматриваемых признаков и может быть использовано в практической работе, т.е. при прогнозировании.

32