Вопросы_по_мат_логике_3_сем_экз_Дьячков / 15_Vopros

15. Логика предикатов: нормальные пренексные формулы

Определение. Предваренной (или пренексной) нормальной формулой (ПНФ) называется представление в ЛП формулы А следующего вида:

А¢ = (Q₁ (x₁) Q₂ (x₂)...Q_n (x_n))М,

Где (Q₁ (x₁) Q₂ (x₂)...Q_n (x_n)) - начальная часть формулы, содержащая кванторы, называется префиксом(приставкой), а часть формулы М – матрица – кванторы не содержит.

Кванторы – это Qi, где 1 <= i <=n.

Если A эквивалентно B и B – предваренная формула, то B называют пренексной (нормальной) формой (ПНФ) формулы A.

В частности, не исключается и случай n = 0, т.е. бескванторная формула также считается предваренной.

Для всякой формулы существует ПНФ.

Доказательство. С помощью основных логических законов устраняем в формуле все знаки логических операций, кроме V, /\, (И, ИЛИ, НЕ) (если таковые имеются). К полученной формуле последовательно применяем в произвольном возможном порядке преобразования двух типов: А и В.

Преобразование типа А. 

Находим в формуле некоторую часть (подформулу) Ф, имеющую вид , или , или , или , где F, G(x) – какие-то формулы и G(x) содержит свободную переменную x.

Пусть для определенности  (в остальных случаях все делается точно так же). Преобразуем Ф следующим образом: проверяем, содержит ли F переменную x, и если нет, то замещаем Ф на  (соотношение (III.1)), если да, то заменяем все вхождения x в  вхождениями какой-либо новой переменной, скажем, t, не встречающейся в нашей «большой» формуле (соотношение (IV.1)), и затем заменяем  на . Таким же образом поступаем с подформулами остальных трех видов (это возможно ввиду коммутативности конъюнкции и дизъюнкции).

 Преобразование типа В.

Находим в формуле некоторую подформулу, имеющую вид  (или ), где G(x) – формула со свободной переменной x, и заменяем ее на  (соответственно на ) по соотношениям (II.1), (II.2). Применяя преобразования типов А и В, мы шаг за шагом «вытаскиваем наружу» все кванторы и, в конце концов, приходим к формуле, в которой ни один квантор не стоит внутри конъюнкции или дизъюнкции, или вслед за отрицанием. Но в такой формуле квантор может стоять только либо вслед за другим квантором, либо в самом начале формулы, т.е. получена ПНФ для исходной формулы. 

Этапы пошагово:

Замечание

Тут я попробую объяснить, как читать строки пункта 3 на последнем скрине на примерах, чтоб это всё не казалось бессмысленным набором символов, МБ понадобится:

1. Пусть х – монета, P(x) – круглая монета, Q(x) – металлическая монета.

Читается так:

Любая монета круглая и любая монета металлическая  Любая монета круглая и металлическая

Стрелочка в обе стороны читается как «… значит, что …» и действует в обе стороны. Вроде несложно.

2. Пусть х – карандаш, P(x) – синий карандаш, Q(x) – красный карандаш.

Читается так:

Существует карандаш синий и существует карандаш красный  Существует такие два карандаша x и y, что карандаш x синий, а карандаш y красный.

Суть: Из такого заявления мы не можем предполагать, что существует карандаш одновременно синий и красный, поэтому приходится добавлять ещё один. Тогда всё верно.

Дальше сами.