4
.docx16 Группа. Кольцо. Поле. Решетка.
Кольцо — это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической групп.
<R, +, -, *, 0>
Аксиомы: а + б = б + а; а + 0 = а; а + (- а) = 0; (а + б) * с = с * а + с * б;
а * (б * с) = (а * б) * с;
Пример: <z, +, -, *, 0> - кольцо чисел.
Поле – вид алгебраической групп, к который характерезуется 2мя бинарными операциями: сложение(+, аддитивная операция) и умножение(*,мультипликативная операция).
Пример : поле – Q, C(Мн-ва); не поле – R, Z(Мн-ва).
Решётка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются + и ∙ или и ), удовлетворяющая следующим тождествам: <A; ˄, ˅ >
-
a ˄ a = a; a ˅ a = a
-
a ˄ b = a ˄ b; a ˅ b = b ˅ a
-
a ˄ (a ˅ b) = a; b ˅ (b ˄ a)
Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:
.
17 Гомоморфизм и изоморфизм алгебраических систем. Подсистемы алгебраических систем.
Логико-математич. понятия, выражающие одинаковость (изоморфизм; от греч. — одинаковый и — форма) либо уподобление (гомоморфизм; от греч. — один и тот же, равный) строения (структуры) систем (множеств, процессов, конструкций). Системы А и А1 наз. изоморфными (или находящимися в отношении изоморфизма), если между их элементами, а также функциями (операциями), свойствами и отношениями, осмысленными для этих систем, существует или может быть установлено взаимно-однозначное соответствие. В этом случае каждая из систем А и А1 наз. изоморфным образом другой.
Изоморфные алгебраические системы: A<A;F,P,C> и B<B;F’,P’,C’> называется такое отображение g, такое что:
-
g - биекция лежит А и В (Взаимно-однозначное соответствие)
-
g(Fª(a1…an)) = Fº(g(a1)…g(an))
-
Pª(a1…an) = 1 <=> Pº(g(a1)…g(an)) = 1
Подсистемой алгебраической системы <A;WF;WR> называется алгебраическая система <A';WF';WR'>, в которой A' Н A, значения всех операций из WF' на A' совпадают со значениями операций из WF и отношения из WR' на A' совпадают с отношениями из WR. При этом подмножество A' называется замкнутым в системе <A;WF;WR>.
Заметим, что гомоморные образы алгебр всегда изоморфны подалгебрам, но гомоморные образы моделей – не обязательно изоморфны подмоделям данной модели.
Пример
Модель <{0,1}; <> можно гомоморфно отобразить на модели <{0,1}; Ј >, <{0}; {(0,0)}> и т.д., но они не являются подмоделями исходной модели.
18 Частично упорядоченные множества и решетки.(ЧУМ). Множество в котором все элементы сравнимы.
Аксиомы сложения:
-
a ≤ a
-
a ≤ b, b ≤ a => a = b
-
a ≤ b, b ≤ c => a ≤ c
Любое ЧУМ в котором существуют верхняя и нижняя границы являются решеткой:
˅ - sup(a, b) верхняя грань; ˄ - inf(a, b) нижняя грань.
19 Аксиомы Пеано. Свойства сложения.
Одна из систем аксиом для натуральных чисел.
Аксиомы: Все n є ω, n’ ( ’ ) – символ следования.
Все m, n є ω, если m’ = n’, то m = n; если A включено в ω и 0 є А, если можно показать, из того, что n є A => n’ є A, то A = ω.
Число g(m, n) для m, n наз-ся суммой чисел m, n «m+n»
Аксиомы сложения:
(k + m) + n = k + (m + n).
g(k + m, n) = g(k, m + n). – g(g(k, m), n) = g(k, g(m, n)).
m’ + n = m + n’
g(m’, 0), g(m, 0’) = g’(m, 0) = m’
20 Аксиомы Пеано. Свойства умножения и порядка.
m ≤ k, где m и k числа, Сущ.n є ω : k = m + n.
Аксиомы порядка:
-
0 + n = n => 0 ≤ n
-
k ≤ m, m ≤ n => k ≤ n
-
k ≤ m, m ≤ k => m = k
-
m ≤ n, m ≠ n => m’ ≤ n.
Аксиомы умножения:
-
a * b = b * a;
-
(a * b) * c = a * (b * c);
-
a * (b + c) = a * b + a * c.
Все алгебраические системы вида <ω, ‘> удовлетворяющие аксиомам Пеано изоморфны между собой.