2
.docx6. Лемма о дедукции для ИВ.
Лемма 1. Если – выводимая формула ИВ , то результат S() применения к одновременной подстановки S также есть выводимая формула ИВ .
Доказательство. Пусть одновременная подстановка S заключается в том, что попарно различные буквы a1, a2, …, ak одновременно заменяются в формуле на формулы 1, 2, …, k.
Возьмём множество всех тех и только тех букв, которые входят в запись хотя бы одной из формул 1, 2, …, k. Их конечное число. Пусть это будут (попарно различные) буквы x1, x2, …,xn. Тогда можно записать: 1 = 1(x1, x2, …, xn), …, k = k(x1, x2, …, xn). Так как алфавит ИВ (точнее, множество символов переменных) бесконечен, то можно взять попарно различные буквыb1, b2, …, bn, каждая из которых не совпадает ни с одной из букв a1, a2, …, ak, x1, x2, …, xn и не входит в запись формулы . А теперь произведём последовательно серию обычных (однократных) подстановок: сначала в формулу вместо буквы a1 подставим формулу 1(b1, b2, …, bn), затем вместо a2 в новую формулу подставим 2(b1, b2, …, bn) и т. д.; вместо ak – k(b1, b2, …, bn). Затем вместо букв b1, b2, …, bn последовательно подставим буквы x1, x2, …, xn. Легко видеть, что в конце мы получим S().
Осталось сослаться на доказанное ранее утверждение, что при применении (обычной, однократной) подстановки к выводимой формуле получается выводимая формула (в ИВ ).
Лемма доказана.
7.Теорема 17 (О корректности ИВ). Всякая теорема исчисления высказываний есть тавтология.
Несложно проверить, что все аксиомы — тавтологии. Для примера проделаем это для самой длинной аксиомы (точнее, схемы аксиом) — для второй. В каком случае формула
(где — некоторые формулы) могла бы быть ложной? Для этого посылка должна быть истинной, а заключение — ложным. Чтобы заключение было ложным, формула должна быть истинной, а формула — ложной. Последнее означает, что истинна, а ложна. Таким образом, мы знаем, что , и истинны. Отсюда следует, что и истинны, и потому истинна — противоречие. Значит, наша формула не бывает ложной.
Корректность правила MP также очевидна: если формулы и всегда истинны, то по определению импликации формула также всегда истинна. Таким образом, все формулы, входящие в выводы (все теоремы) являются тавтологиями.
8.Теорема 18 (О полноте ИВ). Всякая тавтология есть теорема исчисления высказываний.
Начнем с такого определения: множество формул называется совместным,если существует набор значений переменных, при которых все формулы из истинны. Заметим, что формула является тавтологией тогда и только тогда, когда множество, состоящее из единственной формулы , не является совместным. Для случая одной формулы есть специальный термин: формула выполнима, если существуют значения переменных, при которых она истинна, то есть если множество совместно. Тавтологии — это формулы, отрицания которых не выполнимы.
Множество формул называется противоречивым, если из него одновременно выводятся формулы и . Мы знаем, что в этом случае из него выводятся вообще все формулы. (В противном случае называется непротиворечивым.)
9.Метод Квайна.
Метод Квайна основывается на применении двух основных соотношений.
Суть метода заключается в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений, что приводит к сокращенной ДНФ. Метод применим к совершенной ДНФ. Из соотношения поглощения следует, что произвольное элементарное произведение поглощается любой его частью.
При склеивании всех конституент из S получим импликанту р. Последнее очевидно, поскольку операция склеивания обратна операции развертывания. Множество S конституент обязательно присутствует в совершенной ДНФ функции f поскольку р - ее импликанта.
Таблица 4.1.1 |
|
x4x3x2x1 |
f |
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 |
10.Метод резолюций.
Метод резолюций можно применять к любому множеству дизъюнктов с целью проверки их невыполнимости (противоречивости). Рассмотрим сначала метод резолюций для логики высказываний.
Литеры A и ~A называются контрарными, а множество {A, ~A} – контрарной парой.
Допустим, что в дизъюнкте C1 существует литера L1 , контрарная литере L2 в дизъюнкте C2. Вычеркнем литеры L1и L2 из дизъюнктов C1 и C2 соответственно и построим дизъюнкцию оставшихся дизъюнктов. Построенный дизъюнкт называется резольвентой дизъюнктов C1 и C2. Резольвента двух дизъюнктов является их логическим следствием. Резольвента двух единичных дизъюнктов (если она существует) – пустой дизъюнкт.
Резолютивный вывод C из множества дизъюнктов S есть такая конечная последовательность C1, C2, ..., Ckдизъюнктов, в которой каждый Ci (i=1, ..., k) или принадлежит S, или является резольвентой дизъюнктов, предшествующих Ci и Ck=C.
Дизъюнкт C может быть выведен или получен из S, если существует вывод C из S. Для невыполнимого множества дизъюнктов в результате последовательного применения правила резолюций получается пустой дизъюнкт.
Вывод из множества S пустого дизъюнкта называется опровержением (доказательством невыполнимости) S.