4

16 Группа. Кольцо. Поле. Решетка.

Кольцо — это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической групп.

<R, +, -, *, 0>

Аксиомы: а + б = б + а; а + 0 = а; а + (- а) = 0; (а + б) * с = с * а + с * б;

а * (б * с) = (а * б) * с;

Пример: <z, +, -, *, 0> - кольцо чисел.

Поле – вид алгебраической групп, к который характерезуется 2мя бинарными операциями: сложение(+, аддитивная операция) и умножение(*,мультипликативная операция).

Пример : поле – Q, C(Мн-ва); не поле – R, Z(Мн-ва).

Решётка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются + и ∙ или  и ), удовлетворяющая следующим тождествам: <A; ˄, ˅ >

1. a ˄ a = a; a ˅ a = a

2. a ˄ b = a ˄ b; a ˅ b = b ˅ a

3. a ˄ (a ˅ b) = a; b ˅ (b ˄ a)

Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:

 .

17 Гомоморфизм и изоморфизм алгебраических систем. Подсистемы алгебраических систем.

Логико-математич. понятия, выражающие одинаковость (изоморфизм; от греч. — одинаковый и — форма) либо уподобление (гомоморфизм; от греч. — один и тот же, равный) строения (структуры) систем (множеств, процессов, конструкций). Системы А и А1 наз. изоморфными (или находящимися в отношении изоморфизма), если между их элементами, а также функциями (операциями), свойствами и отношениями, осмысленными для этих систем, существует или может быть установлено взаимно-однозначное соответствие. В этом случае каждая из систем А и А1 наз. изоморфным образом другой.

Изоморфные алгебраические системы: A<A;F,P,C> и B<B;F’,P’,C’> называется такое отображение g, такое что:

1. g - биекция лежит А и В (Взаимно-однозначное соответствие)

2. g(Fª(a1…an)) = Fº(g(a1)…g(an))

3. Pª(a1…an) = 1 <=> Pº(g(a1)…g(an)) = 1

Подсистемой алгебраической системы <A;WF;WR> называется алгебраическая система <A';WF';WR'>, в которой A' Н A, значения всех операций из WF' на A' совпадают со значениями операций из WF и отношения из WR' на A' совпадают с отношениями из WR. При этом подмножество A' называется замкнутым в системе <A;WF;WR>.

Заметим, что гомоморные образы алгебр всегда изоморфны подалгебрам, но гомоморные образы моделей – не обязательно изоморфны подмоделям данной модели.

Пример

Модель <{0,1}; <> можно гомоморфно отобразить на модели <{0,1}; Ј >, <{0}; {(0,0)}> и т.д., но они не являются подмоделями исходной модели.

18 Частично упорядоченные множества и решетки.(ЧУМ). Множество в котором все элементы сравнимы.

Аксиомы сложения:

1. a ≤ a

2. a ≤ b, b ≤ a => a = b

3. a ≤ b, b ≤ c => a ≤ c

Любое ЧУМ в котором существуют верхняя и нижняя границы являются решеткой:

˅ - sup(a, b) верхняя грань; ˄ - inf(a, b) нижняя грань.

19 Аксиомы Пеано. Свойства сложения.

Одна из систем аксиом для натуральных чисел.

Аксиомы: Все n є ω, n’ ( ’ ) – символ следования.

Все m, n є ω, если m’ = n’, то m = n; если A включено в ω и 0 є А, если можно показать, из того, что n є A => n’ є A, то A = ω.

Число g(m, n) для m, n наз-ся суммой чисел m, n «m+n»

Аксиомы сложения:

(k + m) + n = k + (m + n).

g(k + m, n) = g(k, m + n). – g(g(k, m), n) = g(k, g(m, n)).

m’ + n = m + n’

g(m’, 0), g(m, 0’) = g’(m, 0) = m’

20 Аксиомы Пеано. Свойства умножения и порядка.

m ≤ k, где m и k числа, Сущ.n є ω : k = m + n.

Аксиомы порядка:

1. 0 + n = n => 0 ≤ n

2. k ≤ m, m ≤ n => k ≤ n

3. k ≤ m, m ≤ k => m = k

4. m ≤ n, m ≠ n => m’ ≤ n.

Аксиомы умножения:

1. a * b = b * a;

2. (a * b) * c = a * (b * c);

3. a * (b + c) = a * b + a * c.

Все алгебраические системы вида <ω, ‘> удовлетворяющие аксиомам Пеано изоморфны между собой.