2

6. Лемма о дедукции для ИВ.

Лемма  1. Если  – выводимая формула  ИВ , то результат S() применения к  од­новременной подстановки S также есть выводимая формула  ИВ .

Доказательство. Пусть одновременная подстановка S заключается в том, что по­парно различные буквы a₁, a₂, …, a_k одновременно заменяются в формуле  на формулы ₁, ₂, …, _k.

Возьмём множество всех тех и только тех букв, которые входят в запись хотя бы одной из формул ₁, ₂, …, _k. Их конечное число. Пусть это будут (попарно различные) буквы x₁, x₂, …,x_n. Тогда можно записать: ₁ = ₁(x₁, x₂, …, x_n), …, _k = _k(x₁, x₂, …, x_n). Так как алфавит  ИВ  (точнее, множество символов переменных) бесконечен, то можно взять попарно различные буквыb₁, b₂, …, b_n, каждая из которых не совпадает ни с одной из букв a₁, a₂, …, a_k, x₁, x₂, …, x_n и не входит в запись формулы . А теперь произведём последовательно серию обычных (однократных) подстановок: сначала в формулу  вме­сто буквы a₁ подставим формулу ₁(b₁, b₂, …, b_n), затем вместо a₂ в новую формулу под­ставим ₂(b₁, b₂, …, b_n) и т. д.; вместо a_k – _k(b₁, b₂, …, b_n). Затем вместо букв b₁, b₂, …, b_n последовательно подставим буквы x₁, x₂, …, x_n. Легко видеть, что в конце мы получим S().

Осталось сослаться на доказанное ранее утверждение, что при применении (обыч­ной, однократной) подстановки к выводимой формуле получается выводимая формула (в  ИВ ).

 Лемма  доказана.

 

7.Теорема 17 (О корректности ИВ). Всякая теорема исчисления высказываний есть тавтология.

Несложно проверить, что все аксиомы — тавтологии. Для примера проделаем это для самой длинной аксиомы (точнее, схемы аксиом) — для второй. В каком случае формула

(где  — некоторые формулы) могла бы быть ложной? Для этого посылка  должна быть истинной, а заключение  — ложным. Чтобы заключение было ложным, формула  должна быть истинной, а формула  — ложной. Последнее означает, что  истинна, а ложна. Таким образом, мы знаем, что ,  и  истинны. Отсюда следует, что  и  истинны, и потому  истинна — противоречие. Значит, наша формула не бывает ложной.

Корректность правила MP также очевидна: если формулы  и  всегда истинны, то по определению импликации формула  также всегда истинна. Таким образом, все формулы, входящие в выводы (все теоремы) являются тавтологиями.

8.Теорема 18 (О полноте ИВ). Всякая тавтология есть теорема исчисления высказываний.

Начнем с такого определения: множество формул  называется совместным,если существует набор значений переменных, при которых все формулы из  истинны. Заметим, что формула  является тавтологией тогда и только тогда, когда множество, состоящее из единственной формулы , не является совместным. Для случая одной формулы есть специальный термин: формула  выполнима, если существуют значения переменных, при которых она истинна, то есть если множество  совместно. Тавтологии — это формулы, отрицания которых не выполнимы.

Множество формул  называется противоречивым, если из него одновременно выводятся формулы  и . Мы знаем, что в этом случае из него выводятся вообще все формулы. (В противном случае  называется непротиворечивым.)

9.Метод Квайна.

Метод Квайна основывается на применении двух основных соотношений.

Суть метода заключается в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений, что приводит к сокращенной ДНФ. Метод применим к совершенной ДНФ. Из соотношения поглощения следует, что произвольное элементарное произведение поглощается любой его частью.

При склеивании всех конституент из S получим импликанту р. Последнее очевидно, поскольку операция склеивания обратна операции развертывания. Множество S конституент обязательно присутствует в совершенной ДНФ функции f поскольку р - ее импликанта.

Таблица 4.1.1
x4x3x2x1	f
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

10.Метод резолюций.

Метод резолюций можно применять к любому множеству дизъюнктов с целью проверки их невыполнимости (противоречивости). Рассмотрим сначала метод резолюций для логики высказываний.

    Литеры A и ~A называются контрарными, а множество {A, ~A} – контрарной парой.

    Допустим, что в дизъюнкте C₁ существует литера L₁ , контрарная литере L₂ в дизъюнкте C₂. Вычеркнем литеры L₁и L₂ из дизъюнктов C₁ и C₂ соответственно и построим дизъюнкцию оставшихся дизъюнктов. Построенный дизъюнкт называется резольвентой дизъюнктов C₁ и C₂. Резольвента двух дизъюнктов является их логическим следствием. Резольвента двух единичных дизъюнктов (если она существует) – пустой дизъюнкт.

    Резолютивный вывод C из множества дизъюнктов S есть такая конечная последовательность C₁, C₂, ..., C_kдизъюнктов, в которой каждый C_i (i=1, ..., k) или принадлежит S, или является резольвентой дизъюнктов, предшествующих C_i и C_k=C.

    Дизъюнкт C может быть выведен или получен из S, если существует вывод C из S. Для невыполнимого множества дизъюнктов в результате последовательного применения правила резолюций получается пустой дизъюнкт.

    Вывод из множества S пустого дизъюнкта называется опровержением (доказательством невыполнимости) S.