6. Второй закон Ньютона. Масса и сила. Импульс (количество движения) материальной точки. Импульс силы.

Второй закон Ньютона: Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе:

Масса [кг] – скалярная физическая величина, характеризующая количество вещества.

Сила [н = 1 кг*м/с² ] - векторная физическая величина, являющаяся мерой действия на данное тело других тел. Сила характеризуется: модулем, направлением, точкой приложения.

Количеством движения материальной точки [н*с= 1кг*м/с]  называется векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость:.

Импульсом силы [H*c] называется векторная физическая величина равная произведению силы и времени её действия: =N

7. Третий закон Ньютона. Закон сохранения количества движения замкнутой системы.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.

Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел не изменяется при взаимодействии тел. Если импульс одного тела увеличился, то это означает, что у какого-то другого тела (или нескольких тел) в этот момент импульс уменьшился ровно на такую же величину.

Пример. Девочка и мальчик катаются на коньках. Замкнутая система тел - девочка и мальчик (трением и другими внешними силами пренебрегаем). Девочка стоит на месте, ее импульс равен нулю, так как скорость нулевая. После того как мальчик, движущийся с некоторой скоростью, столкнется с девочкой, она тоже начнет двигаться. Теперь ее тело обладает импульсом. Численное значение импульса девочки ровно такое же, на сколько уменьшился после столкновения импульс мальчика.

8. Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского. Формула Циалковского. Наиболее наглядным примером тела с переменной массой является динамика ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет.

Несложные преобразования закона изменения импульса приводят к уравнению Мещерского:

Здесь m – текущая масса ракеты,– ежесекундный расход массы,υ – скорость газовой струи (т.е. скорость истечения газов относительно ракеты), F – внешние силы, действующие на ракету. По форме это уравнение напоминает второй закон Ньютона, однако, масса тела m здесь меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе добавляется дополнительный член, который может быть истолкован какреактивная сила.

Применив уравнение Мещерского к движению ракеты, на которую не действуют внешние силы, и проинтегрировав уравнение, получим формулу Циолковского:

9. Центр инерции (масс) системы материальных точек. Движение центра инерции механической системы.

Центр инерции (масс) системы материальных точек – точка пересечения прямых, вдоль которых действуют внешние силы, вызывающие поступательное движение тела. В геометрическом смысле центром масс называется точка, радиус-вектор которой определяется формулой:

Теорема о движении центра массзвучит следующим образом: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.

.

 

Из теоремы о движении центра масс механической системы следует, что движение всей механической системы можно рассматривать как движение одной точки – центра масс.

10. Понятие о неинерциальных системах отсчёта и силах инерции. Центробежная сила инерции. Сила Кориолиса.

Неинерциальные системы отсчёта- системы отсчета, которые движутся ускоренно относительно инерциальных систем.

При описании движения в неинерциальных системах можно пользоваться уравнениями движения Ньютона, если наряду с силами воздействия тел друг на друга, учитывать так называемые силы инерции. Силы инерции следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной систем отсчета:

.

Следовательно, уравнение движения в неинерциальной системе отсчета будет иметь вид:

.

Центробежная сила инерции– сила инерции, которую вводят во вращающейся неинерциальной системе отсчёта, чтобы продолжать применять законы Ньютона, для расчёта ускорения тел через баланс сил. Она направлена от оси вращения по её главной нормали. По модулю равна центростремительной силе и противоположна ей по направлению.

Сила Кориолиса- одна из сил инерции, вводимая для учёта влияния вращения подвижной системы отсчёта на относительное движение тела.

Пример: циклоны на северном полушарии закручиваются против часовой стрелки, в южном по часовой. Причина закручивания – сила Кориолиса. В центре циклона находится область низкого атмосферного давления, воздушные массы устремляются в эту область со всех сторон, Земля вращается и поэтому на воздушные потоки действую Кориолисовы силы.

11. Работа постоянной и переменной силы. Работа консервативной силы по замкнутому пути.Работа постоянной силыравняется скалярному произведению силы на перемещение на косинус между ними:

A = |F|·|S|·cosa = (F·S).

Единица измерения работы - Джоуль. 1 Дж = 1 Н·м.  Работа переменной силы численно равна площади под графиком зависимости проекции силы на направление скорости.

Работа консервативной силы по замкнутому пути: консервати́вные си́лы - силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил). Отсюда следует следующее определение: консервативные силы — такие силы, работа по любой замкнутой траектории которых равна 0.

12. Кинетическая и потенциальная энергия. Работа силы в поле упругих сил и силы тяжести.

Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная.

Кинетической энергией называется величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Кинетическая энергия – это энергия движения. Например, кинетической энергией обладает двигающаяся машина, летящий воздушный шарик и т.д.

Потенциальная энергия определяется положением тела по отношению к другим телам или взаимным расположением частей одного и того же тела.

Величину, равную произведению массы тела на ускорение свободного падения и на высоту тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.

Работа силы тяжести:не зависит от траектории движения тела, а определяется только координатами начальной и конечной точки.

На замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Работа силы в поле упругих сил:также не зависит от траектории движения тела, а определяется только координатами начальной и конечной точки.

13. Закон сохранения и превращения энергии в механике.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

14. Силовое поле. Связь между силой и потенциальной энергией. Условие равновесия механической системы.

Силово́е по́ле — это векторное поле в пространстве, в каждой точке которого на пробную частицу действует определённая по величине и направлению сила (вектор силы).

Связь между силой и потенциальной энергией:  

Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем. Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы  , действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергииU. Значит, между силой  иU  должна быть связь  , с другой стороны,  dA = –dU, следовательно  , отсюда

Проекции вектора силы на оси координат:

Условие равновесия механической системы:механическая система будет находиться в равновесии, если на неё не будет действовать сила. Это условие необходимое, но не достаточное, так как система может при этом находиться в равномерном и прямолинейном движении. 

15. Упругие и неупругие столкновения шаров.

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого они соединяются и далее двигаются как одно целое.

По закону сохранения импульса: .

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого механическая энергия системы остается прежней.

По закону сохранения импульса и энергии: , .

16. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия вращения. Момент инерции. Теорема Штейнера.

Вращением вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого тела, при котором две его точки всё время остаются неподвижными. Прямую, проходящую через эти точки, называют осью вращения тела.

Уравнение вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси:

Кинетическая энергия– величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всехnматериальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:E_к=I_*v²/2.

Момент инерции (I) – скалярная физическая величина, мера инертности при вращательном движении.

Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

17. Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Момент силы и момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу моментавсех внешних сил, действующих на это тело.

Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиуса-векторана силу: , 

Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на импульс:

.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени. 

 Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:

18. Гироскопический эффект. Прецессия гироскопа.

Гироскопическим эффектом называется явление сохранения неизменности своего направления в пространстве быстровращающимся осесимметричным твердым телом. Гироскопический эффект свойственен небесным телам, артиллерийским снарядам, роторам турбин, устанавливаемых на судах, винтам самолетов и т.п.

Прецессия гироскопа: – это такой тип движения, когда в результате постоянного действия момента внешней силы ось свободного гироскопа вращается вокруг направления данной внешней силы.

Пример - юла, раскрученная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси под действием момента пары сил тяжести и нормальной реакции опоры: M=lxmg, где l=OC. Скорость, с которой ось вращения движется относительно вертикальной оси, называется угловой скоростью прецессии, эта величина обратно пропорциональна импульсу волчка.

19. Гармонические колебания. Скорость, ускорение, сила и энергия при гармонических колебаниях.

Гармонические колебания - колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону).

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени:

Уравнение скорости и ускорения, если колебание описывать по закону косинуса:

Уравнение скорости и ускорения, если колебание описывать по закону синуса:

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания:

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания (под действием квазиупругой силы):

Полная кинетическая энергия:

20. Сложение гармонических колебаний одного направления. Биения.

При наложении двух гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, возникает гармоническое колебание с той же частотой, а его амплитуда зависит от амплитуд и начальных фаз отдельных колебаний. Результирующее отклонение в каждый момент времени равно алгебраической сумме составляющих отклонений.

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями. Строго говоря, это уже не гармонические колебания.

21. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Пусть некоторое тело колеблется и вдоль оси x, и вдоль оси y, т.е. участвует в двух взаимноперпендикулярных колебаниях:

Найдем уравнение результирующего колебания. Для простоты примем.

Разность фаз между обоими колебаниями равна:  .

Чтобы получить уравнение траектории, надо исключить из этих уравнений время t.

Упростим выражения, окончательный результат:

Фигуры Лиссажу - замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

22. Затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания. Время релаксации. Добротность колебательной системы.

Затухающие колебания - колебания с постоянно убывающей со временем амплитудой.

Уравнение затухающего колебания:

Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания  χ:

Время релаксации - время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Добротность колебательной системы - отношениеэнергии,запасённойвколебательнойсистеме,кэнергии,теряемойсистемойзаодинпериодколебания.Добротностьхарактеризуеткачествоколебательнойсистемы.

23. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Явление резонанса. Понятие о гармоническом анализе.

Вынужденными колебаниями называют незатухающие колебания системы, которые вызываются действием внешней периодической силы. Если сила не будет периодической, то не возникнет и периодических колебаний. Например, если сила постоянна, то возникает статическое отклонение системы.

Примеры: колебания гребных винтов, лопаток турбины, качелей при раскачивании, мостов и балок при ходьбе и т.д.

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний:

Амплитуда вынужденных колебаний А зависит от частоты w.

Механические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно.

	,
	.

Найдем максимум формул, т.е. реальную частоту, при которой амплитуда смещения или заряда достигает максимума.

Продифференцируем подкоренное выражение (9.1) и (9.2) по w и приравняем эти выражения к 0. Получаем:

.

Равенство (9.3) выполняется при:

w = 0

– физический смысл имеет значение 

Явление резонанса заключается в резком увеличении амплитуды установившихся вынужденных колебаний при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой вынуждающей силы.

Гармони́ческий ана́лиз (или фурье́-ана́лиз) — раздел математического анализа, в котором изучаются свойства функций с помощью представления их в виде рядов или интегралов Фурье.

24. Уравнение плоской волны. Волновое число. Фазовая скорость.

Уравнением волны  называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.

- уравнение плоской волны. Волновое число- это пространственная частота волны, т.е. либо число циклов на единицу расстояния, или число радиан на единицу длины.

Скорость распространения синусоидальной волны nназываетсяфазовой скоростью; это есть скорость распространения фиксированной фазы волны. Для простой синусоидальной волны фиксированная фаза соответствует фиксированной амплитуде.

Вычислим эту скорость. Зафиксируем фазу волны:

 Возьмем дифференциал от этого выражения:

откуда

25. Когерентные волны. Интерференция волн. Стоячие волны.

Когерентные волны - это волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную раз­ность фаз, а колебания происходят в одной плоскости. Когерентность волн является необходимым условием получения устойчивой интерференционной картины.

Интерференция волн — взаимное увеличение или уменьшение результирующей амплитуды двух или нескольких когерентных волн при их наложении друг на друга.

Стоячие волны

Если раскачивать один конец веревки с правильно подобран­ной частотой (другой ее конец закреплен), то к закрепленному концу побежит непрерывная волна, которая затем отразится с потерей полуволны. Интерференция падающей и отраженной волн приведет к возникновению стоячей волны, которая выгля­дит неподвижной.

Устойчивость стоячей волны удовлетворяет следующему условию: гдеL—длина веревки; n=1, 2, 3 и т.д.; v—скорость распро­странения волны, которая зависит от натяжения веревки. Стоячие волны возбуждаются в любых телах, способных со­вершать колебания.

26. Эффект Допплера.

Эффект Доплера– это физическое явление, состоящее в изменении частоты волн в зависимости от движения источника этих волн относительно наблюдателя. При приближении источника частота излучаемых им волн увеличивается, а длина уменьшается. При удалении источника волн от наблюдателя их частота уменьшается, а длина волны увеличивается.

Например, в случае звуковых волн при удалении источника высота звука понизится, а при приближении тон звука станет более высоким. Так, по изменению высоты тона можно определить, приближается или удаляется поезд, автомобиль со звуковым спецсигналом и т.д. Электромагнитные волны также демонстрируют эффект Доплера. Наблюдатель в случае удаления источника заметит смещение спектра в «красную» сторону, т.е. в сторону более длинных волн, а при приближении – в «фиолетовую», т.е. в сторону более коротких волн.

Выражение для релятивистского Доплер-эффекта имеет вид 

27. Волновое уравнение для упругой волны. Энергия волны. Поток энергии. Плотность потока энергии. Вектор Умова.

Волновым уравнениемназывают уравнение, решением которого является уравнение волны.

Волновое уравнение примет вид

.

решением этого уравнения, кроме плоской гармонической волны, бегущей в положительном направлении оси , является также плоская гармоническая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси:

.

Для плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, которое можно задать радиус-вектором , уравнение волны и волновое уравнение запишутся следующим образом

,

.

Энергия волны. Поток энергии. Плотность потока энергии. Вектор Умова.

Волновой процесс связан с распространением энерии (Е) в пространстве.

поток энергиии(Ф) -отношение энергии, перенесенной волной через некоторую поверхность, ко времени (t),за которое этот перенос совершается. Если перенос энергии осуществляется равномерно, то:Ф = Е / t, а для общего случая поток представляет производную от энергии по времени - Ф = d Е / d t. Единица измерения потока энергии совпадает с единицей мощности Дж/ с = Вт.

Интенсивность волны ( или плотность потока энергии ) ( I ) - отношение потокаэнергии к площади (S) поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны. Для равномерного распределения энергии по поверхности, через которую проходит волна:I =Ф / S, а в общем случае - I = dФ / dS. Измеряется интенсивность в Вт / м².

Вектор , модуль которого равен интенсивности волны, а направление совпадает с направлением ее распространения носит названиевектора Умова:

.

Формулу можно представить в несколько ином виде. Учитывая, что энергия гармонических колебаний (см.формулу)и выразив массуmчерез плотность вещества и объемV, для объемной плотности энергии получим:w = . Тогда формула (26) принимает вид:

.

Итак интенсивность упругой волны, определяемая вектором Умова, прямо пропорциональна скорости ее распространения, квадрату амплитуды колебаний частиц и квадрату частоты колебаний.

28. Принцип относительности Энштейна. Принцип постоянства скорости света в вакууме. Преобразования Лоренца.

Принцип относительности Энштейна. Принцип постоянства скорости света в вакууме.

Физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения.

В основе СТО лежат два постулата, выдвинутых Эйнштейном.

Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.  Уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к любым инерциальным системам отсчета. Инвариантность – неизменность вида уравнения при переходе из одной системы отсчета в другую (при замене координат и времени одной системы – другими).

Скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости источника и приемника света.  Все как-то пытались объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли, а Эйнштейн – постулировал это, как закон.

В первом постулате главное то, что время тоже относительно – такой же параметр, как и скорость, импульс и др. Второй – возводит отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли в ранг закона природы:  c = const.

Преобразования Лоренца. Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K'движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид: 

K' → K                K → K' β = υ /c.

29. Относительность одновременности. Сокращение длины движущихся тел. Замедление хода движущихся часов. Релятивистский закон сложения скоростей.

Относительность одновременности – события одновременные с точки зрения подвижного наблюдателя будут происходить в разные моменты времени относительно неподвижного.

Сокращение длины движущихся тел – по ходу движения предметы сокращаются в размерах, причём в такое же количество раз, во сколько там замедляется время.

Замедление хода движущихся часов – на одно и то же действие с точки зрения движущихся объектов времени нужно меньше, чем с точки зрения неподвижных. Получается, что в движении время замедляется, и чем быстрее мы движемся, тем сильнее этот эффект.

30. Релятивистское уравнение движения. Зависимость массы от скорости. Закон взаимосвязи массы и энергии. Энергия покоя. Полная энергия. Закон сохранения полной энергии и закон сохранения массы. Дефект массы.

Релятивистское уравнение движения:

Динамика, основанная на принципах СТО, инвариантная относительно преобразований Лоренца, называется релятивистской динамикой.

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) для материальной точки имеет вид:

также известно выражение для релятивисткого импульса

 Зависимость массы от скорости:при увеличении скорости тела его масса не остается постоянной, а растет.

Закон взаимосвязи массы и энергии: В СТО масса тела m определяется из уравнения релятивистской динамики:

где E — полная энергия свободного тела, p — его импульс, c — скорость света.

Энергия покоя:

Энергия покоя или массовая энергия покоя частицы — её энергия, когда она находится в состоянии покоя относительно данной инерционной системы отсчёта;E₀ = m₀c², где m₀ - масса покоя частицы, c - скорость света в вакууме.

Полная энергия:

полную энергию свободного тела можно определить как произведение его релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме:

 

Закон сохранения энергии:

В замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы (сила упругости, сила гравитации), механическая энергия сохраняется.

Закон записывают в виде формулы:

E = E_p + E_k = const

Закон сохранения массы -   масса, как количество вещества, несотворима и неуничтожима. Масса вещества сохраняется при всех природных процессах.

Закон сохранения массы является частным случаем закона сохранения энергии, который записывают в виде формулы: Е = mc².

Дефект массы - недостаток массы ядра по сравнению с суммой масс свободных нуклонов

Расчетная формула для дефекта масс:

где М я - масса ядра Z- число протонов mp -масса свободного протона N - число нейтронов mn - масса свободного нейтрона