Задача №117

Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии r = 30 см. Сила притяжения шаров F₁ = 90 мкН. После того как шары были приведены в соприкосновение и удалены друг от друга на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой F₂ = 160 мкН. Определить заряды q₁ и q₂, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними.

Дано:

r = 30 см = 0,3 м

F₁ = 90 мкН = 90∙10^-6 Н

F₂ = 160 мкН = 160∙10^-6 Н

Найти: Q₁ = ? Q₂ = ?

Решение:

Ввиду того, что d₁ << r, d₂ << r, целесообразно рассмотреть систему шаров как систему двух точечных зарядов.

В начале эксперимента заряженные шары находятся на расстоянии r и притягиваются с силой F₁

где ε₀ = 8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Полный заряд системы в первом случае

,

поскольку заряды являются разноименными.

При соприкосновении заряженных тел происходит процесс равномерного перераспределения электрического заряда между ними, следовательно, согласно закону сохранения заряда,

,

причём во втором случае шары приобретают одноименный заряд (и начинают отталкиваться с силой F₂).

При этом, как следует из закона сохранения заряда

Тогда сила отталкивания F₂ определяется по формуле

Отсюда

Из формулы для F₁ и F₂, получаем, что

,

следовательно, выразив Q₂ через Q₁, получаем, что

,

или

Получаем квадратное уравнение вида x² + px + q = 0, где , .

Дискриминант данного уравнения

Тогда корни данного уравнения определяются как

.

Подставляя исходные данные, получаем, что

.

Следует понимать, что в соответствии с условием если заряд Q₁ > 0, то заряд Q₂ < 0, и наоборот. Поэтому, вычисляя заряд Q₂, учтём это условие при раскрытии знака модуля:

Следовательно, если Q₁ = 90 нКл, то Q₂ = –10 нКл, а если Q₁ = –90 нКл, то Q₂ = 10 нКл.

Ответ: 90 нКл и –10 нКл либо –90 нКл и 10 нКл.