И.Д. Долгий синтез и анализ дискретных устройств
Ростов-на-Дону
2005
1. Функции алгебры логики
1.1. Основные понятия и определения
В алгебре логики принято сложные высказывания отождествлять с функциями алгебры логики, а простые высказывания с аргументами этих функций. Все высказывания как сложные так и простые могут быть истинными или ложными. Истинные высказывания в числовом выражении равны единице, а ложные нулю.
Таким образом, функцией алгебры логики является такая функция, которая как и ее аргументы, может принимать только два значения 0 или 1.
Все функции алгебры логики определяются на наборах аргументов, число которых равно 2n, где n – количество аргументов от которых зависит функция алгебры логики. Под набором аргументов понимается комбинация различных значений аргументов. Если n=1, то количество наборов N будет равно N=21=2, т.е. один набор 1 а второй 0. Если n=2, то N=22=4. Наборы аргументов будут следующие: 00, 01, 10, 11.
На каждом из наборов аргументов функция алгебры логики может принимать значение 0 или 1. Отсюда получается зависимость количества функций М от числа наборов аргументов N
или
(от числа аргументов)
.
Таким
образом, количество функций одного
аргумента будет равно
,
количество функций двух аргументов
и т.д.
В настоящее время хорошо изучены и широко используются в теории дискретных устройств только функции одного и двух аргументов.
1.2. Функции алгебры логики (фал) одного
аргумента
Известно, что количество ФАЛ одного аргумента равно четырем. Эти функции представляются следующей таблицей 1.1.
Таблица 1.1.
Нумерация ФАЛ |
Наборы аргумента х |
Обозначение ФАЛ |
Название ФАЛ |
|
0 |
1 |
|||
f0 |
0 |
0 |
0 |
Константа 0 |
f1 |
0 |
1 |
x |
Аргумент х |
f2 |
1 |
0 |
|
Отрицание аргумента х |
f3 |
1 |
1 |
1 |
Константа 1 |
Из
таблицы 1.1. следует, что две функции
алгебры логики не зависят от значения
аргумента. Функция константа 0 всегда
равна 0, а функция константа 1 всегда
равна единице при любом значении
аргумента х.
Функция аргумент х
повторяет значение аргумента, функция
отрицание аргумента принимает значение
противоположное аргументу, т.е.
(читается «не икс»).
Все функции алгебры логики могут быть представлены таблицами истинности. Таблица истинности включает в себя все наборы аргументов от которых она зависит и значение функции на каждом наборе. Представим функции одного аргумента таблицами истинности.
Таблица 1.2.
Константа 0
Наборы аргумента |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
Таблица 1.4.
Отрицание аргумента
Наборы аргумента |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
Таблица 1.3.
Аргумент х
Наборы аргумента |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
Таблица 1.5.
Константа 1
Наборы аргумента |
|
0 |
1 |
1 |
1 |