2.3 Составление математической модели задачи

При разработке математической модели задачи решаются следующие вопросы:

• выбор параметров управления;

• выбор показателей качества (критерия оптимальности);

• формирование ограничений и целевой функции в общем виде с использованием конкретных числовых значений

Данная модель позволяет определить оптимальный план расстановки флота компании по всем возможным схемам движения, обеспечивающий максимальное получение чистой валютной выручки.

Параметром управления в данной задаче выступает число рейсов судов i-того типа на j-той схеме движения, так как критерий оптимизации – максимизация доходов. В курсовой работе флота недостаточно для выполнения всех перевозок. Критерий оптимальности – максимум чистой валютной выручки.

Математическая модель задачи в общем виде такова:

Z = ΔF_ij* x_ij – max (1)

q_il* x_ij  Q_l (l=1,S) (2)

t_ij * x_ij = T_i ( і =1,m) (3)

x_ij  0 ( і = 1,m ; j = 1,n) (4)

где x_ij – число рейсов судов і – го типа на j – ой схеме движения (параметры управления), судо – рейсы ;

T_i - бюджет времени судов і – го типа, судо – сутки.

T _i = N_i *Т_пл ( і =1,m),

где N_i – число судов і – го типа;

Т_пл - продолжительность планового периода (Т_пл = 90 сут.);

Т₁ = 10*90=900 судо –сут.;

Т₂ = 8*90=720 судо –сут.;

Q_l - количество груза, предъявленное к перевозке на l – ом участке, тыс.т;

G_l - множество схем движения, содержащих l – ый участок;

S – количество груженых участков.

^{Экономический смысл целевой функции (1) – максимизировать чистую валютную выручку; ограничения (2) отражают требование: на каждом участке перевезти груз в количестве, не превышающем заявленного; ограничения (3) отражают требование использования бюджета времени в эксплуатации судов всех типов на перевозках; (4) – условие неотрицательности переменных.}

^{Запишем математическую модель согласно исходным данным и построенным вариантам схем движения в координатной форме:}

Целевая функция (1):

Z = ΔF₁₁x₁₁ + ΔF₁₂x₁₂ + ΔF₁₃x₁₃ + ΔF₁₄x₁₄ + ΔF₂₁x₂₁ + Δ F₂₂x₂₂ + ΔF₂₃x₂₃ +Δ F₂₄x₂₄ – max,

Ограничения (2)

q₁₁ x₁₁ + q₁₁ x₁₃ + q₂₁ x₂₁ + q₂₁ x₂₃ ≤ Q₁ G₁ = {1;3}

q₁₂ x₁₁ + q₁₂ x₁₄ + q₂₂ x₂₁ + q₂₂ x₂₄ ≤ Q₂ G₂ = {1;4}

q₁₃ x₁₂ + q₁₃ x₁₄ + q₂₃ x₂₂ + q₂₃ x₂₄ ≤ Q₃ G₃ = {2;4}

q₁₄ x₁₂ + q₂₄ x₂₂ ≤ Q₄ G₄ = {2}

^{Ограничения (3)}

t₁₁ x₁₁ + t₁₂ x₁₂ + t₁₃ x₁₃ + t₁₄ x₁₄ = T₁

t₂₁ x₂₁ +t₂₂ x₂₂ + t₂₃ x₂₃ + t₂₄ x₂₄ = T₂

Ограничения (4)

x_ij ≥ 0 (i=1,m; j=1,n).

Подставим в математическую модель задачи в координатной форме значения нормативов, полученные ранее:

Целевая функция (1):

Z = 133x₁₁ + 116,2x_{12 +} 69,3x₁₃ + 130,9x₁₄ + 58,1x₂₁ + 48,3x₂₂ + 30,8x₂₃ +60,9x₂₄ – max,

Ограничения (2)

9 x₁₁ + 9 x₁₃ + 4 x₂₁ + 4 x₂₃ ≤ 250 тыс.т G₁ = {1;3}

7 x₁₁ + 7 x₁₄ + 3 x₂₁ + 3 x₂₄ ≤ 180 тыс.т G₂ = {1;4}

8 x₁₂ + 8 x₁₄ + 4 x₂₂ + 4 x₂₄ ≤ 230 тыс.т. G₃ = {2;4}

7 x₁₂ + 7 x₂₂ ≤ 240 тыс.т G₄ = {2}

^{Ограничения (3)}

36x₁₁ + 42x₁₂ + 21x₁₃ + 46x₁₄ = 900

27x₂₁ + 28x₂₂ + 19x₂₃ + 34x₂₄ = 720

Ограничения (4)

x_ij ≥ 0 (i=1,m; j=1,n).

Выпишем вектора условий:

А₁₁ = ; А₁₂ = ; А₁₃ = ; А₁₄ = ;

А₂₁ = ; А₂₂ = ; А₂₃ = ; А₂₄ =

^{Данная задача решается с помощью симплекс-метода, однако структурные ограничения не содержат нужного для построения базиса количества единичных векторов. Поэтому введем в математическую модель искусственные переменные, чтобы перейти от исходной задачи к расширенной. Необходимо перейти к одноиндексным переменным, получаем, что : x}₁₁^=x₁^{, x}₁₂^=x₂^{, x}₁₃^=x₃^{, x}₁₄^=x₄^{, x}₂₁^=x₅^{, x}₂₂^=x₆^{, x}₂₃^=x₇^{, x}₂₄^=x₈^{. Таким образом, математическая модель примет вид:}

Z = 133x₁ + 116,2x_{2 +} 69,3x₃ + 130,9x₄ + 58,1x₅ + 48,3x₆ + 30,8x₇ +60,9x₈ +0x₉ + 0x₁₀ + 0x₁₁ +0x₁₂ - M x₁₃ - M x₁₄ – max,

9 x₁ + 9 x₃ + 4 x₅ + 4 x₇ + x₉ = 250

7 x₁ + 7 x₄ + 3 x₅ + 3 x₈+ x₁₀ = 180

8 x₂ + 8 x₄ + 4 x₆ + 4 x₈+ x₁₁ = 230

7x_{2 +} 3x₆ + x₁₂ = 240

36x₁ + 42x₂ + 21x₃+ 46x₄+x₁₃ = 900

27x₅ + 28x₆ + 19x₇ + 34x₈ +x₁₄ = 720

x_ij ≥ 0 (i=1,m; j=1,n).

^где x₉,x₁₀ ,x₁₁ ,x₁₂ – дополнительные переменные;

x₁₃ ,x₁₄ - искусственные переменные.

Мы получили 6 единичных векторов необходимых для построения базиса:

А₉ = ; А₁₀ = ; А₁₁ = ;

А₁₂ = ; А₁₃ = ; А₁₄ =

Исходный опорный план расширенной задачи:

X (x₁=0; x₂=0; x₃=0; x₄=0; x₅=0; x₆=0; x₇=0; x₈=0; x₉=250; x₁₀=180; x₁₁=230; x₁₂=240; x₁₃=900; x₁₄=720)

Далее записываем исходную симплекс-таблицу (Табл.2.5)