![](/user_photo/_userpic.png)
1350
.pdf![](/html/17031/226/html_L9F9RoqmTn.ceLh/htmlconvd-YC2sOX1x1.jpg)
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫХ И ПИЩЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Кафедра теоретической механики
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ДИНАМИКА
Методические указания к практической и самостоятельной работе
студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения
Санкт-Петербург
2009
3
УДК 531(075)
Григорьев А.Ю. Теоретическая механика. Динамика: Метод. указания к практической и самостоятельной работе студентов всех спец. очной и заочной форм обучения. – СПб.: СПбГУНиПТ, 2009. – 68 с.
Представлен теоретический материал, приведены примеры решения задач, а также даны задачи для самостоятельной работы студентов по соответствующим темам дисциплины «Динамика».
Рецензент Доктор техн. наук, проф. В.А. Арет
Рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом уни-верситета
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий, 2009
4
![](/html/17031/226/html_L9F9RoqmTn.ceLh/htmlconvd-YC2sOX3x1.jpg)
Часть I. ТЕОРИЯ, НЕОБХОДИМАЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
Динамика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил.
Покой – частный случай движения, поэтому раздел статики – это частный случай динамики.
Кинематика исследует движение материальных тел с чисто геометрической точки зрения, следовательно, кинематику можно считать геометрическим введением в динамику.
Динамика делится на динамику материальной точки и на динамику системы материальных точек.
1. Динамика материальной точки
Аксиомы динамики (законы динамики)
1.Материальная точка, на которую не действуют внешние силы, находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Иначе: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения.
2.Действующая на материальную точку сила вызывает пропорциональное ей ускорение (рис. 1).
Эту аксиому можно записать формулой
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
mW |
, |
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где F – вектор силы; W – вектор ускорения движения материальной |
|||||||||||||||||
точки; m – коэффициент пропор- |
|
|
|
|
|
||||||||||||
циональности, называемый инер- |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ционной массой точки. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Инерционная масса m опре- |
|
|
|
|
|
||||||||||
деляет способность тела сопро- |
|
|
|
|
|
||||||||||||
тивляться изменению характера |
W |
|
F |
||||||||||||||
движения. Соотношение (1), уста- |
|
|
|
|
|
||||||||||||
навливающее связь между силой |
|
|
Рис. 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F , массой m и ускорением W , |
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/17031/226/html_L9F9RoqmTn.ceLh/htmlconvd-YC2sOX4x1.jpg)
является важнейшим в классической механике и называется основ-
ным уравнением динамики материальной точки. (1-я форма).
Пример: Материальная точка свободно падает вблизи поверхности планеты Земля (рис. 2). Согласно все- m мирному закону тяготения, сила притяжения двух тел друг к другу определяется формулой
R |
|
|
|
|
|
|
m M |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
F G |
, |
|
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
R2 |
|
|
|
|||||||
|
M |
|
где |
m – масса материальной точки; М – масса |
|||||||||
|
|
планеты Земля; R – расстояние между мате- |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
риальной точкой и центром планеты; G – |
||||||||||
|
Рис. 2 |
|
универсальная гравитационная постоянная. |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Но, согласно основному закону динамики, |
|
F |
mW |
, следова- |
||||||||
тельно, ускорение свободного падения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
g W |
GM |
. |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видим, что ускорение свободного падения g не зависит от массы падающего тела.
M
n
где F F i
i 1
|
|
|
|
|
|
|
3. Несколько |
|
одновре- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
менно действующих на мате- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
риальную точку сил (рис. 3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сообщают точке такое ускоре- |
|||||||||||||
|
|
|
|
F 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ние, какое сообщила бы ей од- |
|||||||||||||||
|
W |
|
на сила, равная их геометри- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ческой сумме, т. е. если на ма- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
териальную |
точку |
действует |
|||||||||||
F 2 |
F |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
система сил |
F 1 , F 2 |
,... F n , |
то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
mW F i , |
(4) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1
– равнодействующая системы сил.
6
![](/html/17031/226/html_L9F9RoqmTn.ceLh/htmlconvd-YC2sOX5x1.jpg)
Пример: на материальную точку М действуют две силы F1
и F 2 , в этом случае вектор W ускорения ее движения будет направ-
лен по диагонали параллелограмма со сторонами F1 и F 2 туда же, куда действует равнодействующая сила F .
4. Движущиеся материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, равными по модулю и действующими вдоль одной прямой в противоположные стороны.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так, например (рис. 4), F1 = − F 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аксиомы |
динамики были |
|
|
|
|
|
|
||||||
впервые сформулированы англий- |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ским ученым Исааком Ньютоном |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
F 1 |
|
|
|
|||||||||
применительно |
к |
инерциальным |
|
|
|
|
|||||||
M |
F 2 |
N |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
системам отсчета, |
т. е. к системам |
|
|
|
|
отсчета, покоящимся или движущимся равномерно и прямолинейно.
Рис. 4
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
|
|
Пусть |
|
материальная |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
M x, y, z |
|
|||||||
точка М массой m (рис. 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
движется |
под |
действием |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
произвольной системы сил |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
y |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F 1 , F 2 ,... F n , |
равнодейст- |
|
|
|
|
o |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
z |
|
|||
вующая которой F F i . |
|
x |
|
|
|
|
y |
|||||||||||||||
|
|
|
j |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда основной закон ди- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
намики для этой точки вы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
глядит следующим обра- |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
зом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
m W F F i . |
(5) |
i 1
7
![](/html/17031/226/html_L9F9RoqmTn.ceLh/htmlconvd-YC2sOX6x1.jpg)
Введем в пространстве произвольную декартову систему координат Oxyz с ортами осей i, j, k . Тогда координаты положения точки М являются функциями времени (см. раздел кинематики, ко-
ординатный способ задания движения материальной точки), следо-
вательно:
x x(t) |
|
y y(t) , |
(6) |
z z(t) |
|
где х, у, z – переменные координаты точки М, зависящие от времени. Из кинематики мы знаем, что вектор ускорения материальной точки W при координатном способе задания движения определяется
выражением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
, |
|
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
i |
|
j |
k |
|
|
|
|
||||||||||
где |
x |
d 2 x |
|
, y |
d 2 y |
, z |
d 2 z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dt2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dt2 |
|
|
|
dt2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Вектор силы Fi |
через свои проекции на оси координат запи- |
||||||||||||||||||||||||||||
шется в следующем виде: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yi |
|
Zi |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
i Xi |
i |
j |
k , |
(8) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
где |
Xi , Yi , |
Z i – проекции вектора силы Fi |
|
на оси |
координат |
Оx, Оy, Оz соответственно, а вектор равнодействующей силы через свои проекции запишется в виде
|
|
Y |
|
Z |
|
. |
(9) |
|
F |
X |
i |
j |
k |
Вспоминая теорему о проекции геометрической суммы на ось, получаем, что
n |
n |
n |
|
X Xi , |
Y Yi , |
Z Zi . |
(10) |
i 1 |
i 1 |
i 1 |
|
8
Спроектируем векторное основное уравнение динамики материальной точки (5) на оси координат с учетом выражений (7)–(10), получим дифференциальные уравнения движения материальной точки
|
n |
|
|
mx X X i |
|
||
|
i 1 |
(11) |
|
|
n |
||
|
|||
my Y Yi |
|
||
|
i 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
mz Z Zi |
|
||
|
i 1 |
|
Система дифференциальных уравнений (11) – это вторая форма записи основного уравнения динамики материальной точки.
Две задачи динамики
Различают две задачи динамики – прямую и обратную.
Первая прямая задача динамики состоит в определении рав-
нодействующей силы, действующей на точку известной массы, движущейся по заданному закону.
Пример: пусть известен закон движения материальной точки
ион задан координатным способом:
xx(t) , y y(t) , z z(t) .
Тогда, согласно выражению (11), декартовы проекции на оси координат равнодействующей силы можно определить по формулам
X mx , Y my , Z mz .
А далее равнодействующая сила находится по формуле (9).
Таким образом, первая задача динамики может быть решена всегда с помощью операции двойного дифференцирования по времени выражений для закона движения материальной точки.
Пример: пусть материальная точка движется в плоскости Oxy по закону
x a coskt , |
у b sin kt , |
где a, b, k const.
9
![](/html/17031/226/html_L9F9RoqmTn.ceLh/htmlconvd-YC2sOX8x1.jpg)
Тогда очевидно, что траектория движения описывается уравнением
|
x2 |
|
y2 |
1, |
|
|
|
|
||||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т. е. траекторией движения материальной |
точки |
является эллипс |
||||||||||||
с полуосями a и b . Из условия задачи (рис. 6) имеем: |
||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|||
|
|
|
j |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
r |
y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
o |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||
i x |
|
|
x |
b
Рис. 6
x ak sin kt , y bk coskt ,
x ak2 coskt k 2 x ,y bk2 sin kt k 2 y .
Так как X mx , Y my , то
F X i Y j m x i y j mk 2 xi y j ,
где xi y j r – радиус-вектор положения материальной точки М в пространстве.
Следовательно, F mk 2 r .
10
Таким образом, данное движение происходит под действием силы, всегда направленной к центру эллипса (см. рис. 6). Модуль этой
силы пропорционален расстоянию до центра эллипса: F mk 2OM .
Вторая обратная задача динамики состоит в определении закона движения материальной точки известной массы по заданным силам.
Так, пусть действующие на материальную точку силы заданы как функции:
1)времени t;
2)координат положения материальных точек x, y, z ,
3)компонент (составляющих) вектора скорости x, y, z ,
где новые обозначения производных по времени x, y, z |
соответству- |
||||||||
ют x |
dx |
, y |
dy |
, |
z |
dz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|
|
||
Тогда дифференциальные уравнения движения материальной |
|||||||||
точки (11) |
запишутся в виде |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
mx X x, y, z, x, y, z, t |
|
|||
|
|
|
|
|
my Y x, y, z, x, y |
, z, t |
(12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
mz Z x, y, z, x, y |
, z, t , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда видим, что получена система трех дифференциальных уравнений шестого порядка относительно трех неизвестных x, y, z .
Для определения закона движения в координатной форме необходимо проинтегрировать эту систему уравнений. В процессе интегрирования возникнут шесть произвольных констант интегрирования. Чтобы определить эти постоянные, следует задать начальные усло-
вия. Начальные условия определяют положение и скорость |
точки |
||
в момент начала движения t0 = 0. |
|
|
|
При t = t0, х = х0, |
у = у0, |
z = z0; |
|
x x0 , |
y y0 , |
z z0 , |
(13) |
где x0 , y0 , z0 – известные координаты начального положения материальной точки в пространстве; x0 , y0 , z0 – известные компоненты (составляющие) вектора начальной скорости движения материальной точки.
Следовательно, для решения задачи, кроме системы уравнений (12), необходимо иметь шесть начальных условий (13).
11
![](/html/17031/226/html_L9F9RoqmTn.ceLh/htmlconvd-YC2sOX10x1.jpg)
2. Теоремы об изменении импульса (количества движения)
Понятие о количестве движения материальной точки (импульс материальной точки)
Пусть некоторая материальная точка массы m движется по
криволинейной траектории со скоростью .
Определение: Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на
вектор скорости: |
|
Q m . |
(1) |
Очевидно, размерность количества движения в системе СИ:
Q кг мс Н с; в СГСЕ: Q кгс.
Введем прямоугольную декартову систему координат Oxyz с ортами осей i, j, k (рис. 7), тогда вектор скорости через свои проекции на оси координат можно записать в следующем виде (см.
раздел кинематики, координатный способ задания движения материальной точки):
|
|
y |
|
z |
|
. |
|
||
|
|
x |
i |
j |
k |
(2) |
z
Q
О
y
x
Рис. 7
12