Задачник / Глава 06 (112-155)

Глава 6 Плоский изгиб стержней

6.1 Теоретическая и методическая информация.

Примеры

6.1.1 Внутренние усилия при плоском поперечном изгибе стержней с прямолинейной осью

Для определения внутренних усилий при плоском изгибе применяется метод сечений. Любая отсеченная часть балки должна находиться в равновесии под действием внешних сил и внутренних усилий в сечении.

При плоском изгибе в поперечных сечениях балок возникают два внутренних усилия – изгибающий момент Мx и поперечная сила Qy .

Изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих с одной стороны от сечения, относительно нейтральной оси x, проходящей через центр тяжести проведенного сечения.

Поперечная сила равна алгебраической сумме проекций на нормаль к продольной оси стержня всех внешних сил, приложенных с одной стороны от сечения.

Правило знаков для внутренних усилий М и Q в соответствии с ранее сформулированным правилом (п. 1.1.7), применительно к плоскому изгибу балок для двух вариантов координатных осей показано на рисунке 6.1.

z z

Рис. 6.1

В процессе построения эпюр М и Q, а также при проверке конечных результатов рекомендуется пользоваться следующими правилами.

1. Ординаты эпюры М откладываются перпендикулярно оси эпюры со стороны растянутых волокон балки. Положительные значения М и Q откладываются в соответствии с положительным направлением оси у снизу от оси, отрицательные – сверху.

2. На эпюре М должны наблюдаться скачки в сечениях балки, где приложены внешние сосредоточенные моменты. Величина скачка должна быть равна моменту.

112

3.В эпюре Q скачки должны наблюдаться в сечениях, где приложены сосредоточенные силы (активные и реактивные). Величина скачка равна сосредоточенной силе.

4.На участках без распределенной нагрузки эпюра М очерчена на-

клонной прямой при Q 0 и горизонтальной прямой (в частности может быть и с нулевой ординатой) при Q=0; эпюра Q на участках без распределенной нагрузки очерчена горизонтальной прямой (в частности может быть с нулевой ординатой).

5.В пределах участка балки, где действует равномерно распределенная нагрузка, эпюра М имеет параболическое очертание, эпюра Q – наклонная прямая.

6.В тех сечениях балки, где поперечная сила переходит через нуль, изгибающий момент имеет экстремальное значение (max или min), т. к.

Построить эпюры М и Q .

Рис. 6.2

Решение. 1. Определение опорных реакций (рис. 6.3).

113

2. Построение эпюр Q и M.

В пределах длины балки три участка: I – от VA до m , II – от m

Функция Q1 – линейная, поэтому для построения ее эпюры достаточно определить два значения поперечной силы в начале и конце участка. Функция М1 – нелинейная (параболическая). Для построения эпюры М1 в таком случае необходимо располагать по крайней мере тремя значениями изгибающего момента. Два из них берутся на границах участка, третье – в том сечении, где функция М1 достигает экстремума. Если в пределах участка нет экстремума, то определяется промежуточное значение момента в

середине участка. Известна зависимость dMdz Q , следовательно, там, где

поперечная сила становится равной нулю, момент достигает экстремума (по правилам отыскания экстремума функции). Таким образом, о наличии экстремума на эпюре моментов в пределах данного участка можно судить

по признаку – переходит ли эпюра Q через ноль.

Если поперечная сила меняет знак с плюса на минус, то имеет место максимум момента (как в данном случае), а если поперечная сила переходит через ноль, меняя знак с минуса на плюс, то момент в точке экстремума достигает минимума.

Итак, приравняем нулю Q1 или производную функции М1 и найдем z1* , соответствующее M max :

Подсчеты Q и М для построения эпюр сведены в таблицу 6.1.

II участок: l / 2 z2 l . Рассматриваем часть балки слева от сече-

ния:

114

Функция Q2 – линейная. Для построения эпюры Q2 достаточно определить два значения функции. Функция М2 – нелинейная. Для построения ее эпюры надо знать не менее трех значений функции М2. Подсчеты приведены в таблице 6.1. Так как в пределах второго участка Q2 не переходит через ноль, то функция М2 не имеет экстремума в пределах участка

иподсчитывается М2 при z2= 3 м.

III участок: l z3 l a . Рассматриваем равновесие правой отсе-

ченной части:

Q3 F 20 кН;

M3 F(l a z3 ) 20(5 z3 ).

По данным таблицы 6.1 построены эпюры Q и М (рис. 6.3).

Примечание. Для консольных балок с одним защемленным и другим свободным концами определение опорных реакций не является обязательным. При построении эпюр Q и М в них следует рассматривать равновесие отсеченного свободного конца балки.

115

Рис. 6.4

Решение. 1. Определение опорных реакций.M A 0;

X 0; H A F 0; H A F 30кН.

Проверка. Для проверки составим сумму моментов относительно середины ригеля (точка С, рис. 6.4):

2.Число участков на раме равно четырем.

3.Определение внутренних усилий и построение эпюр.

Для определения внутренних усилий введем подвижную систему координат zy. Начало координат будем размещать в начале каждого прямолинейного участка рамы, обходя ее по ходу часовой стрелки от левой опоры. Ось y направим внутрь рамы, ось z – вдоль оси соответствующего прямолинейного элемента (рис. 6.5, а).

117

10

118

Так как Q3 в пределах участка меняется от 10 кН до –50 кН, найдем z3, соответствующее значению Q3 = 0, следовательно, M3 экстр при

z3* VqA 1020 0,5 м.

IV участок. Внутренние усилия определим, рассмотрев равновесие нижней части правой стойки рамы (рис. 6.5, а):

0 z4 h ;

M 4 0; Q4 0; N4 RB 50 кН.

В соответствии с результатами выполненных расчетов (табл. 6.2) строим эпюры М, Q, N (рис. 6.5, б, в, г). Положительные ординаты отложим внутрь рамы, отрицательные – наружу. При этом эпюра моментов окажется построенной на растянутых волокнах.

Статическая проверка правильности построения эпюр в раме.

Каждый «вырезанный» из рамы узел должен находиться в равновесии под действием внешних сил, приложенных к узлу, и внутренних усилий в рассеченных стержнях.

Вырежем, например, узел Г (рис. 6.5, а, д). Направление внутренних усилий показываем в соответствии с эпюрами М, Q, N и правилами знаков для них. Составим уравнения равновесия для узла:

Y 0; N Q 10 10 0; Z 0; 0 0;

MГ 0; М М 60 60 0.

Легко убедиться в том, что каждый из оставшихся узлов рамы тоже находится в равновесии.

6.1.3Формулы для напряжений, проверки прочности

иопределения перемещений при плоском изгибе стержней

Нормальные напряжения при плоском изгибе в точке поперечного сечения с координатой y от нейтральной оси

Мy ,

I x

здесь I x – момент инерции сечения относительно нейтральной оси. Условие прочности при чистом изгибе:

119

M max .

max Wx

Если материал балки по-разному сопротивляется растяжению и сжатию и имеет разные допускаемые напряжения при растяжении [ p ] и при

сжатии [ сж ], а сечение не симметрично относительно нейтральной оси, то

ymax p , ymax сж – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных во-

локон в сечении в растянутой и сжатой зонах. Формула Д. И. Журавского:

где Sотс – статический момент относительно нейтральной оси части площади поперечного сечения, расположенной выше или ниже точки, в которой подсчитывается касательное напряжение ;

Расчетные (эквивалентные) напряжения для полной проверки прочности балок при плоском поперечном изгибе по четырем теориям прочности:

рI 12 2 4 2 ;

рII 0,35 0,65 2 4 2 ;

рIII 2 4 2 ;

рIV 2 3 2 .

120

Дифференциальные зависимости между функциями прогибов , углов поворота сечения , изгибающего момента M , поперечной силы Q , распределенной нагрузки q , изменяющимися по длине стержня, при EI =

здесь штрихи обозначают производные по z.

Формула метода начальных параметров для определения перемещений при изгибе:

где 0 , 0 , M 0 ,Q0 – прогиб, угол поворота, изгибающий момент, попе-

речная сила в начале координат (начальные параметры);

q0 – интенсивность равномерно распределенной нагрузки на первом участке;

n – число границ между участками; zi – абсцисса i-й границы участка;

M доп , Qдоп , qдоп – конечные приращения соответствующих величин на границах участков (дополнительные параметры);

z zi – знак, указывающий, что все слагаемые, идущие по-

сле него, надо учитывать лишь тогда, когда z становится большим, чем zi – длины всех предшествующих участков балки.

6.1.4 Применение дифференциальных зависимостей между M, Q, q для построения эпюр усилий и определения нагрузок

Пример 6.1.3. По заданной эпюре моментов (рис. 6.6, а, б) построить эпюру Q и восстановить исходную нагрузку. Криволинейные участки эпюры очерчены по квадратным параболам с вершинами в отмеченных точках.

121