Задачник / Глава 02 (26-44)

Глава 2 Осевое растяжение–сжатие

2.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

2.1.1Эпюры продольной силы

Вслучае осевого растяжения–сжатия в поперечных сечениях стержня возникает единственное внутреннее усилие – продольная сила N.

Для определения внутренних усилий в стержне применяется метод сечений, состоящий из следующих действий: рассекаем стержень сечением, перпендикулярным оси, отбрасываем одну из его частей, заменяем действие отброшенной части на оставленную усилием и уравновешиваем рассматриваемую часть стержня.

Эту последовательность действий легко запомнить с помощью аббревиатуры РОЗУ, образованной из первых букв выделенных в тексте слов.

Для построения эпюры N необходимо выполнить такие действия:

1)определить (если это необходимо) опорные реакции;

2)определить число участков;

3)для каждого из участков записать функцию продольной силы и построить ее график, т. е. эпюру N.

имеет два участка.

3. Составим функции продольной силы на каждом участке и построим эпюру N.

26

1-й у ч а с т о к . Мысленно рассекаем стержень в пределах первого участка сечением, имеющим координату z1. Функцию продольной силы определяем из условия равновесия нижней части стержня. Изобразим отсеченную часть (рис. 2.2, а, б).

Продольную силу N в рассеченном стержне надо всегда показывать растягивающей, т. е. направленной от узла, от сечения. Тогда при определении продольной силы из условий равновесия она будет получаться положительной при растяжении стержня и отрицательной при сжатии, как это и установлено правилом знаков для внутренних усилий.

0 z1 b; N1 F1 A1z1 0;

N1 F1 A1z1 3 78,5 10 10 4 z1 3 0,0785z1.

Функция N1 линейная, следовательно, для построения эпюры продольной силы в пределах первого участка достаточно определить два зна-

z2 = 2 м; N2 = 2,157 + 0,157(2 – 2) = 2,157 кН;

27

z2 = 5 м; N2 = 2,157 + 0,157(2 + 3 – 2) = 2,157 + 0,471 = 2,628 кН.

По результатам подсчетов строится эпюра продольной силы по длине стержня. Ординаты на эпюре откладываются в масштабе (рис. 2.2, г). Скачки на эпюре N должны быть равны величине сосредоточенных сил, приложенных в сечениях.

Из решения видно, что если рассматривать равновесие отсеченной части со стороны свободного конца стержня, то реакцию RВ можно не определять предварительно. Она получится автоматически как ордината эпюры N в защемлении.

Решение уравнений равновесия отсеченных частей стержня позволяет заметить, что продольная сила в сечении равна сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть, т. е. по одну сторону от проведенного сечения. Знак слагаемых при этом берется плюс, если сила вызывает растяжение, минус – в случае сжатия.

Учитывая это, в дальнейшем можно составлять выражения для продольной силы на каждом из участков, не изображая отсеченные части и не составляя уравнение равновесия для них.

Пример 2.1.2. Дано: q = 10 кН/м; F = 40 кН; а = 1 м; = 30о;

CL – абсолютно жесткий стержень (рис. 2.3). Найти продольные силы N в стержнях 1 и 2.

Рис. 2.3

Решение. 1. Определение опорных реакций:

M A 0; R2 3a F 3a q6a 4a 0;

R2 q6a 4a F 3a 10 2 4 40 40 кН; 3a

28

29

Для определения усилий N7-1 и N7-6 «вырежем» узел 7 (рис. 2.6, в):Y 0; N7 1 F 0; N7 1 F 10 кН;

X 0; N0 7 N7 6 0; N7 6 N0 7 10 кН.

Проведем сечение II–II (рис. 2.6, а) и из уравнения равновесия левой отсеченной части определим усилия N1-2 и N1-6 (рис. 2.6, г):

Для определения N2-6 «вырежем» узел 2 (рис. 2.6, д):Y 0; N2 6 0.

Проведем сечение III–III (см. рис. 2.6, а) и из уравнений равновесия правой отсеченной части (рис. 2.6, е) определим усилия N2-3, N3-6, N5-6:

31

«Вырежем» узел 5 (рис. 2.6, ж) и определим усилие N3-5 :Y 0; N3 5 0.

Проведем сечение IV–IV и из уравнений равновесия правой отсеченной части определим усилия N3-4 и N4-5 (рис. 2.6, з):

Y 0; N3 4 sin RB 0; N3 4 RB 4,17 кН; sin

X 0; N3 4 cos N4 5 0; N4 5 N3 4 cos 3,33 кН.

2.1.3 Напряжения, подбор сечения и деформации при осевом растяжении–сжатии стержней

Р а с ч е т н ы е ф о р м у л ы :

для определения напряжения в поперечном сечении и условие проч-

здесь Е – модуль продольной упругости; частные случаи:

1) EA const , z N z ;

EA

2) EA const, N const, z EANz ,

здесь N z площадь эпюры N на участке стержня длиной z;

A, Aнетто – площадь в любом и в наиболее ослабленном поперечном сечении стержня соответственно;

z – изменение длины стержня на участке от 0 до z;

32

34

где N1 и N2 – линейно изменяющиеся функции. Наибольшее по модулю усилие на каждом из участков получим соответственно при z1 = b и z2 = а.

C другой стороны, из условия прочности имеем A . Следовательно,

Эпюра N представлена на рисунке 2.8, б. Для построения эпюры нормальных напряжений N A надо ординаты эпюры N на участке b уменьшить в Ab раз, а на участке a – в Aа раз.

Эпюра σ представлена на рисунке 2.8, в.

35