Теория вероятности (Тобоев) / Radchenko_D_a_dylevsky_A_v_analiz_statisticheskikh_dannykh

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О

Е

АГ Е Н Т С Т В О П О О Б РАЗО В АН И Ю

В О РО Н Е Ж С К И Й

Г О

С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

3

С одержание

В ведени е

3

Ча сть I. Mathcad

3

Ари ф мети чески е вычи сл ени я

4

Испол ь зова ни е ф ормул в Mathcad

5

Ра бота с вектора м и и м а три ца м и

6

П остроени е гра ф и ков в среде Mathcad

8

Чтени е и за пи сь да нных

9

Ча сть II. Ла бора торные ра боты

10

Зна ком ство с Mathcad

10

№ 1. Ра счет выборочныхха ра ктери сти к

11

№ 2. Т очечна я оценка па ра м етров ра спредел ени я

12

№ 3. Довери тел ь ныйи нтерва л

13

№ 4. Кри тери и согл а си я

14

№ 5. Коррел яци онныйи регресси онныйа на л и з

15

П ри л ожени е

16

Некоторые встроенные ф ункци и Mathcad

16

П редопредел енные перем енные

20

Ли тера тура

21

ся с теори ей реш ени я соответствую щ ей за да чи

[1], освои ть м етоди ку ее реш е-

ни я на пра кти ке [2] и и м еть на выки ра боты на П

К в О С Windows.

ЧастьI. Mathcad

В

посл едни е годы дл я проведени я ра зл и чного рода

ра счетов на

ком пь ю тере

все

ча щ е и спол ь зую тся не

тра ди ци онные

языки

програ мм и рова ни я, а

специ а л ь ные

м а тем а ти чески е

па кеты

Maple,

Mathematica, Matlab, Mathcad,

Gauss и др.

М а тем а ти чески е

па кеты,

в особенности

Mathcad —

са м ый по-

конкретной предметной обл а сти , не

вда ва ясь

в тонкости

програ м м и рова ни я,

реа л и зова ть

ма тем а ти чески е модел и .

О тм ети м конкретные преи м ущ ества па кета Mathcad:

∙

ма тема ти чески е выра ж ени я в среде Mathcad за пи сыва ю тся в и хобщ епри ня-

том ви де. Т екстовыйпроцессор па кета позвол яет оф орми ть , на при мер, на уч-

ную

ста ть ю , не при бега я к специ а л и зи рова нным средства м (текстовые про-

цессоры Word, LaTeX и

др.). Кром е того, па кет Mathcad —

это пол ноценное

Windows-при л ожени е,

поэтом у

ClipBoard

(Буф ер

О бм енов)

позвол яет

перенести

ф ра гменты Mathcad-докум ента в Word-документ и при

необходи -

∙

мости дооф орми ть и х;

в среде Mathcad процесс созда ни я програ мм ы и дет па ра л л ел ь но с отл а дкой;

∙

в па кет Mathcad и нтегри рова н довол ь но м ощ ный ма тем а ти чески й а ппа ра т,

позвол яю щ и й реш а ть ма тем а ти чески е за да чи

безвызова

внеш ни хпроцедур.

В от непол ный перечень

вычи сл и тел ь ных и нструм ентов,

доступных в среде

Mathcad:

1) реш ени е а л гебра и чески х ура внени й и

си стем

(л и нейных и

нел и ней-

ных);

2) реш ени е си стем обыкновенных ди ф ф еренци а л ь ных ура внени й (за да ча

Кош

и и кра ева я за да ча );

3) реш ени е ди ф ф еренци а л ь ныхура внени йв ча стныхпрои зводных;

4) ра бота с вектора м и

и

ма три ца м и (л и нейна я а л гебра

и

др.);

5) пои ск м а кси мум ов и м и ни мумов ф ункци она л ь ныхза ви си м остей;

∙

6) ста ти сти ческа я обра ботка да нных;

па кет Mathcad допол нен спра вочни ком по основным

ма тема ти чески м и

ф и -

зи ко-хи м и чески м ф ормул а м и конста нта м ,

которые

можно а втом а ти чески

∙

переноси ть в документ;

в па кет Mathcad и нтегри рова ны средства си мвол ь ной м а тем а ти ки , что

да ет

возм ожность реш а ть

м а тем а ти чески е за да чи

не тол ь ко чи сл енно, но и а на л и -

∙

ти чески ;

си стем а

Mathcad

оборудова на

средства м и

а ни м а ци и ,

что

позвол яет

реа л и зовыва ть созда нные модел и не тол ь ко в ста ти ке (чи сл а , та бл и цы), но и

в ди на м и ке (а ни ма ци онные кл и пы).

Ка к ви дно и з при веденной выш е

ха ра ктери сти ки , па кет Mathcad обл а да ет

бол ь ш и м и возможностям и

дл я реш ени я са м ыхра знообра зныхза да ч. В на стоя-

щ ем

пособи и па кет Mathcad будет ра ссмотрен при мени тел ь но к кл а ссу за да ч,

связа нном у со ста ти сти ческойобра боткойда нных.

Арифм етич еские вы ч исления

Д ля

вы числен ия зн а чен ий

а риф м ет ических

вы ра ж

ен ий

в ра бочем

пол е

Mathcad сл едует с помощ ь ю

кл а ви а туры и л и , на жа в на

пи ктогра мм у ка л ь кул я-

тора

в ма тем а ти ческом м еню

Mathcad (см . ри с. 1), на бра ть

выра жени е, за вер-

ш а ю

щ ееся зна ком “=”.

П

р и

м е р.

1

3

= 1×.2- +4 0.2

5

1 —

па нел ь и нструментов; 2 — кнопки ф орма ти рова ни я текста ; 3 —

м а тема ти ческое меню ;

4 —

выбра нные па нел и

ма тема ти ческого меню .

И спользование форм у лвMathcad

Д ля н а б ора

ф орм ул в Mathcad можно и спол ь зова ть чи сл а , переменные, ф унк-

ци и , ка к ста нда ртные

(встроенные),

та к и

определ яем ые пол ь зова тел ем , а

та кже

ра зл и чные

ма тема ти чески е

опера торы (сл ожени я,

вычи та ни я,

ум ножени я,

дел ени я,

возведени я

в

степень , и нтегри рова ни я,

ди ф ф ерен-

ци рова ни я и

т.д.).

На бор ф орм ул

можно

осущ ествл ять

та кж е

с пом ощ ь ю

па нел и

ма тем а ти ческого меню Mathcad (см . ри с. 1).

(и л и

л оги ческое) выра жени е, все опера нды которого дол жны быть определ ены.

За мети м , что зна к “:=” действует по пол ю Mathcad пра вее и

ни ж е ука за нного

выра жени я. Есл и

вместо зна ка

“:=”

вводи ть “≡ ” (кл а ви ш а

“~”, а

та кж е см .

меню

на

ри с. 1), то его действи е

ра спростра няется по всем у пол ю

докум ента

неза ви си м о

от местопол ожени я

ра ссма три ва ем ого выра жени я.

Т о

есть зна к

“≡ ” определ яет, в отл и чи е от “:=”, переменную гл оба л ь но.

Зам еч ание. Есл и

в докум енте и м еется нескол ь ко определ ени й, то, по умол -

ча ни ю ,

в

Mathcad

при м еняю

тся

сл едую щ и е пра ви л а : есл и

перем енна я

и спол ь зуется в пра войча сти

гл оба л ь ного определ ени я, то она

дол жна быть оп-

редел ена гл оба л ь но выш е него;

и знескол ь ки хгл оба л ь ныхопредел ени й одной

перем енной (и л и

ф ункци и ) действует определ ени е, стоящ ее бл и ж е к концу до-

кум ента .

П

р и

м е р.

x + y

+

xy×

2

x:=1

y:=4 z:=

v :=

10

10

z=0.5

v=0.9

да ть

и мя ф ункци и , ука за в в кругл ых скобка х черезза пятую

и мена ее а ргум ен-

тов,

и

пра вее зна ка

“:=”

(и л и “≡ ”) ввести

соответствую щ ее

ф ункци и

а ри ф мети ческое (и л и

л оги ческое) выра ж ени е. П ри

этом опера нды выра жени я,

явл яю

щ и еся а ргумента м и

ф ункци и , м огут предва ри тел ь но

не определ ять ся.

П осл е определ ени я ф ункци и

ее

можно и спол ь зова ть в выра жени и

ка к ста н-

да ртную

(встроенную ) ф ункци ю

Mathcad. О собо отм ети м , что к м ом енту вы-

чи сл ени я по ф ормул е

все

переменные в этой ф орм ул е дол ж ны быть опреде-

2

+ y) ×

определ=× cos(x- ени+ е ф ункциy 2 и f(x,y)

sin(x)

: y)

f(x,

2=

- +x)

f(4,

1)и спол ь зоваcos(xни е ф ункци:и f(x,yg(x)в вычи сл ени ях

Работасвекторам иим атриц ам и

Дл я ввода ма три цы (и л и

вектора ) требуется продел а ть сл едую щ ую

посл едо-

ва тел ь ность опера ци й:

1) За да ем и м я м а три цы и

вводи м зна к при сва и ва ни я. На при мер, дл я за да ни я

ма три цы “A” пи ш ем “A:”. П ол уча ем “A:=”.

2) В

па нел и

ма тем а ти ческого

м еню

Mathcad на жи ма ем на кнопку с и зобра -

жени ем м а три цы. П осл е этого на

экра не ди спл ея возни ка ет окно ра боты с ма т-

ри ца м и . В

этом окне два пол я и четыре кнопки .

3) В

первом пол е сл едует ука за ть чи сл о стол бцов созда ва емойм а три цы, а

во

втором —

чи сл о строк (по умол ча ни ю

в эти хпол яхза пи са ны тройки

— счи та -

ется, что ква дра тна я ма три ца порядка 3 са м а я ра спростра ненна я).

вста вл яется (уда л яется)

пра вее

и ни ж е отм еченного курсором эл емента уж е

созда ннойма три цы. Кнопка Cansel (О тм ена ) отм еняет вста вку м а три цы.

5) П осл е щ ел чка по

кнопке

OK спра ва от выра жени я появл яется на бор

ORIGIN. Э та перем енна я предопредел енна я (си стем на я): есл и пол ь зова тел ь не

за да ет ее зна чени е, то по ум ол ча ни ю

ORIGIN=0. Измени ть зна чени е си стем ной

перем енной ORIGIN можно л и бо

в пункте м еню Math (подпункт Built-in

документа Mathcad.

О пера ци и

с м а три ца ми

и вектора ми осущ ествл яю тся по тем же пра ви л а м ,

что и

дл я а ри ф м ети чески хвыра жени й(см . П ри л ожени е).

П

р и

м е р

1.

ORIGIN:=1

определ яем ном ер первого эл ем ента

A:=

æ

1

1ö

ф орм и руем м а три цу A

ç

÷

ç

5

÷

è

3ø

B:=

æ

138

ö

ф орм и руем ма три цу B

ç

÷

ç

540

÷

è

ø

=

−1 × B

AX: реш а ем ма три чное ура внени е AX=B

X =

æ

63ö

вывод реш ени я

ç

÷

ç

÷

è

75ø

BA=×

æ0ö

проверка

çX -÷

ç

÷

è0ø

П

р и

м е р

2.

ORIGIN:=0

определ яем ном ер первого эл емента

0,0

A=1 :

0,1 A=1 :

ф орми руем м а три цу A

1,0

=A5 :

1,1

=A3 :

0 = 138 B1 =: 540

B :

ф орми руем м а три цу B

X := lsole(A,B)

реш а ем м а три чное ура внени е AX=B

X0 = 63 X1= 75

вывод реш ени я

+

−

0

= 0

1

проверкаB X

AA X

0,1

0

0,0

+

−

1

= 0

1

B

X

0

AA X

1,1

1,0

ди ческом

пособи и

будет ра ссм отрен л и ш ь двумерный дека ртов гра ф и к (X-Y

Plot), и л л ю

стри рую

щ и й связь между двум я (одна кри ва я на гра ф и ке) и л и не-

скол ь ки м и

(две и л и

бол ее кри вых) вектора м и .

a) ри сова ни е на

экра не ди спл ея за готовки

гра ф и ка —

прямоугол ь ни ка с

черным и

ква дра ти ка м и

у л евойи пра войсторон; за готовка гра ф и ка по-

явл яется в отмеченном курсоре м есте посл е того, ка к пол ь зова тел ь

на -

жм ет на одну и зкнопок м а тема ти ческого м еню

« Гра ф и ки »;

b) за пол нени е пол ь зова тел ем двухчерныхква дра ти ков за готовки

гра ф и ка

и м енем

ф ункци и и

и м енем а ргумента . В

сл уча е, есл и

ф ункци й бол ь ш е

одной,

то и хи м ена

вводятся черезза пятую . В

за готовке есть

и други е

черные ква дра ти ки , определ яю щ и е предел ы и зменени й зна чени й а ргу-

мента

и

ф ункци й.

Э ти

ква дра ти ки

м ожно

не за пол нять

—

среда

Mathcad по

ум ол ча ни ю

за пол ни т и х са м а . Гра ф и к появл яется на

ди с-

пл ее

посл е

вывода

курсора

и ззоны гра ф и ка

(а втома ти чески й режи м

ра счетов)

и л и

посл е на жа ти я кл а ви ш и

F9

(ручной режи м ра счетов).

П

а ра м етры гра ф и ка

(на при мер, тол щ и на

и

ти п л и ни й, ви д осей и

гра -

ф и ка

и

т.п.) за да ю тся ста нда ртным и

по умол ча ни ю ;

c) есл и

па ра м етры гра ф и ка , уста новл енные

по умол ча ни ю

, пол ь зова тел я

не устра и ва ю т и он хочет и х и змени ть ,

то сл едует двойным

щ ел чком

л евой кл а ви ш и

мыш и , когда

ука за тел ь м ыш и

на ходи тся в пол е гра ф и -

ка , вызва ть соответствую щ ее меню и

прои звести необходи м ые и зм ене-

ни я.

Д ля

за да н ия

диа па зон а

изм ен ен ия перем ен н ой

сл едует руководствова ть ся

сл едую

щ и м пра ви л ом :

=

x ...

x,

xx :

n 1

2

Здесь

x1

—

первое зна чени е, x2 —

второе зна чени е и

x n —

посл еднее зна че-

ни е. Т а ки м

обра зом ,

ш а г и зменени я от x

1

до

x

n

будет

2

x x-.

Есл и

же

и спол ь зуется за пи сь

1

=

1

x n..,

xx :

то ш а ги зменени я переменной x будет по ум ол ча ни ю ра вен 1.

Дл я ввода

“..” сл едует на жа ть

кл а ви ш у “;” и л и

воспол ь зова ть ся ма тем а ти че-

скойпа нел ь ю

меню .

9

П р и

м е р

1.

i :=0 .. 10

i при ни ма ет зна чени я от 0 до 10 с ш а гом 1

j :=-15,-14 .. 12

j при ни м а ет зна чени я от -15 до 12 с ш а гом 1

x :=2,2.5 .. 7

x при ни ма ет зна чени я от 2 до 7 с ш а гом 0,5.

П р и

м е р

2.

a :=1 b :=2

c :=20

×α )

α :=)

-

×

+

×

sin(2

b) c

(a

x(

- 2 × a

α :=)

y(

× α 2

+ b)]×

(a )

cos(

-c [a

- a

α:))

α

b)=×

× +(a

cz(cos(

a

α =

×

× deg

360

(deg.. —degпо ум: ол0ча.5ни ю оди н угл овойгра дус).

Чтение изаписьданны х

Mathcad чи та ет и

за пи сыва ет ф а йл ы да нных —

ф а йл ы ASCII, содержа щ и е

за пятым и . П

ри этом ра змер ма три цы уста на вл и ва ется в соответстви и

с объе-

мом ф а йл а .

Копи рова ни е да нных и зф а йл а прои зводи тся построчно.

Ка ж дой

строке м а три цы соответствует строка ф а йл а .

П р и м е р.

i :=1 .. 10

j :=1 .. 8

Y

:=

− j)

sin(i

j i,

WRITEPRN(file2.prn) := Y

Д ля

доб а влен ия

да н н ы х к сущест вую щем у ф а йлу н а диске и спол ь зуется