6.9.2. Примеры решения прямой и обратной задачи
Пример 1
Рассмотрим магнитную цепь на рис. 9.1.
Рис.
9.1. Магнитная цепь. Рис. 9.2. Кривая
намагничивания стали
Пусть необходимо создать Ф = 0,0165 Вб. Определить IW = ?
Задана кривая намагничивания стали (рис. 9.2) из которой выполнены ферромагнитные участки изображенного контура магнитной цепи (рис. 9.1).
Решение. Используя рис. определяем геометрические размеры участков L1 = 0,975 м, L2 = 0,82 м, δ = 0,002 м, S1 = 0,15 × 0,15 = 0,0225 м2, S2 = 0,1 × 0,15 = 0,015 м2, Sδ = 0,1 × 0,15 = 0,015 м2.
Определим величину магнитной индукции на каждом участке
B1 = Ф / S1 = 0,0165 / 0,0225 = 0,735 Тл; B2 = Ф / S2 = 0,0165 / 0,015 = 1,1 Тл; Bвозд = Ф / Sδ = 0,0165 / 0,015 = 1,1 Тл.
Пользуясь кривой намагничивания для литой стали, определим напряжение магнитного поля в первом и во втором участках магнитной цепи:
H1 = 350 А/м; H2 = 940 А/м.
Напряженность в воздушном зазоре определяем из соотношения
Hвозд = 8 × 105 × Bвозд = 8 × 105 × 1,1 = 8,8 × 105 А/м.
Искомая намагничивающая сила обмотки
F = H1 L1 + H2 L2 + Hвозд δ = 350 × 0,975 + 940 × 0,82 + 8,8 × 105 × 0,002 = 2870 АВ.
Обратим внимание на то, что 60% намагничивающей силы затрачивается на поддержание магнитного потока в воздушном зазоре, в то время как ширина зазора δ составляет < 0,15 % от общей длины магнитной цепи (b1 + b2 + δ). Этот факт является характерным для всех магнитных цепей и заставляет конструкторов электрических машин (во избежании чрезмерного увеличения намагничивающих сил обмоток) делать в магнитных цепях ширину воздушных зазоров возможно малой.
Пример 2
Определить магнитный поток в воздушном зазоре магнитопровода (рис. 9.1), если намагничивающая сила обмотки F = 2000 A. Значения величины L1, L2, δ, S1, S2, Sδ взять из примера 1.
Решение. Для ориентировки предварительно определим магнитный поток Ф0 в цепи, учитывая только магнитное сопротивление воздушного зазора Rвозд = δ / (μ0 Sδ) и пренебрегая сопротивлением ферромагнитных участков цепи:
.
Поскольку магнитное сопротивление всей цепи несколько больше, чем сопротивление воздушного зазора, искомый магнитный поток меньше Ф0 . Зададимся в предварительном расчете значением Ф ≈ 0,8 Ф0 = 0,015 Вб и определим соответствующую этому потоку намагничивающую силу.
Магнитная индукция на отдельных участках цепи:
B1 = Ф / S1 = 0,015 / 0,0225 = 0,67 Тл; B2 = Ф / S2 = 0,015 / 0,015 = 1,0 Тл; Bвозд = Ф / Sδ = 0,015 / 0,015 = 1,0 Тл.
По кривой намагничивания для литой стали (рис. 9.2) находим
H1 = 310 А/м, H2 = 700 А/м, Hвозд = 8 × 105 А/м.
Намагничивающая сила обмотки
F1 = H1 L1 + H2 L2 + Hвозд δ = 310 × 0,975 + 700 × 0,82 + 8 × 105 × 0,002 = 2470 АВ.
Далее зададимся еще значениями магнитного потока в 0,014 и 0,012 Вб и проведем аналогичные расчеты. Результаты всех расчетов сведены в табл. 9.1.
По данным табл. 9.1 построен график Ф(F) (рис. 9.3). Из графика находим, что заданной намагничивающей силе F = 2000 АВ соответствует магнитный поток Ф = 0,013 Вб.
Таблица 9.1
|
Ф, Вб |
В1, Тл |
В2, Тл |
Ввозд, Тл |
Н1, А/м |
Н2, А/м |
Нвозд, А/м |
Н1 L1, А |
Н2 L2, А |
Hвоздδ, А |
∑HL = F, А |
|
0,015 |
0,67 |
1,0 |
1,0 |
310 |
700 |
8×105 |
300 |
570 |
1600 |
2470 |
|
0,014 |
0,62 |
0,93 |
0,93 |
264 |
560 |
7,4×105 |
257 |
458 |
1480 |
2195 |
|
0,012 |
0,53 |
0,8 |
0,8 |
205 |
410 |
6,4×105 |
200 |
344 |
1280 |
1824 |
Рис.
9.3. График Ф(F) (к примеру 2)
Пример 3
Определить число витков и ток в обмотке дросселя (рис. 9.4), сердечник которого изготовлен из листовой электротехнической стали Э 41. Активным сопротивлением обмотки и потоком рассеяния пренебречь. Напряжение источника U = 230 В, частота тока f = 50 Гц, амплитуда магнитной индукции Bm = 1,4 Тл. Размеры сердечника: L1 = 14 см; L2 = 10 см; b1 = 2 см; толщина сердечника b2 = 3 см. Удельный вес стали γ = 7,8 г/см3. Стальные листы разделены изоляцией, занимающей 10 % всего объема.
Определить ток в обмотке, если в сердечнике выпилить зазор толщиной δ = 1 мм.
Рис.
9.4
Решение. Уравнение электрического равновесия для обмотки дросселя имеет вид:
,
где R1 – активное сопротивление обмотки; X1 – индуктивное сопротивление обмотки, обусловленное потоком рассеяния; E = 4,44 W f Фm – противо-ЭДС, наводимая в обмотке основным магнитным потоком; Фm – амплитуда основного магнитного потока.
Согласно условию задачи R1 ≈ 0, X1 ≈ 0 из уравнения равновесия получаем
U = E = 4,44 W f Фm,
Фm = Bm Sст = 0,9 Bm S,
где Sст – площадь поперечного сечения стали; S – площадь поперечного сечения магнитопровода, включая изоляцию между листами: S = b1 b2 = 2 × 10-2 × 3 × 10-2 = 6 × 10-4, м2.
Число витков обмотки
.
Рассмотрим ток в обмотке в виде двух составляющих: активной Ia, определяемой по мощности потерь в стали, и реактивной Ip (намагничивающий ток), зависящей от магнитный свойств цепи и определяемой по закону полного тока, тогда
.
Активная составляющая тока
Iа = Pст / U, Pст = pст G,
где Рст – мощность потерь в стали pст – удельная мощность потерь в стали (таблица 10.1); G – вес стали.
Найдем вес стальной части (без изоляции) магнитопровода
G = γ Sст Lст = 0,9 γ Sст.
Длина средней силовой линии
Lст = 2 (L1 - b2) + 2 (L2 - b1) = 2 (12 + 8) = 40 см.
Вес стали G = 7,8 × 0,9 × 6 × 40 = 1,68 кг.
Удельная мощность потерь в стали определяется соотношением
pст = P Bm2 / 50,
в котором P / 50 = 1,35 Вт (кг×Тл2) – удельная мощность потерь для данной марки стали (таблица 10.1) при индукции 1 Тл и частоте 50 Гц.
Тогда pст = 1,35 × 1,42 = 2,646 Вт/кг, а мощность потерь в стали Pст = 2,646 × 1,68 = 4,445 Вт.
Активная составляющая тока
Ia = Pст / U = 4,445 / 230 = 0,019 A.
Рассматриваемая магнитная цепь является однородной, поэтому на основании закона полного тока найдем амплитудное значение намагничивающего тока
Iрm = Hm Lст / W.
Максимальное значение напряженности найдем по кривой намагничивания (таблица 10.1) для стали Э 41. При Вm = 1,4 Тл, Нm = 1300 А/м.
Действующее значение намагничивающего тока
А.
Ток в обмотке
А.
Полученные результаты говорят о том, что в катушке с ферромагнитным сердечником активная составляющая тока невелика и можно принимать I ≈ Ip.
Согласно уравнению электрического равновесия амплитуда магнитного потока Фm (или амплитуда магнитной индукции) пропорциональна приложенному напряжению U и не зависит от длины воздушного зазора.
С появлением зазора будет изменяться только реактивная составляющая тока, которую найдем при помощи закона полного тока
Iрm W = Hm Lст + H0m δ.
Здесь H0m δ – составляющая МДС катушки, идущая на создание магнитного поля в воздушном зазоре
H0m = Bm / μ0 = 1,4 / (4 π 10-7) = 11,146 × 105 А/м. Iрm W = 1300 × 0,4 + 11,146 × 105 × 0,001 = 1634,6 АВ.
Таким образом, на создание магнитного поля в небольшом воздушном зазоре тратится большая част МДС. Действующее значение реактивной составляющей тока
А.
Общий ток I ≈ Ip = 0,846 А.
Создание воздушного зазора длиной 1 мм привело к возрастанию тока в катушке в 3 раза.