- •1. Действия с матрицами
- •1.5. Обратная матрица
- •1.6. Запись систем линейных уравнений в матричном виде
- •1.7. Дифференцирование матричных выражений
- •2. Коррелатный способ уравнивания
- •2.1. Условные уравнения
- •2.2. Весовая функция
- •2.3. Нормальные уравнения коррелат
- •2.4. Составление нормальных уравнений коррелат
- •2.5. Решение нормальных уравнений по алгоритму Гаусса
- •2.6. Оценка точности по материалам уравнивания
- •2.7. Блок-схема коррелатного способа уравнивания
- •2.8. Уравнивание нивелирной сети коррелатным способом
- •3. Параметрический способ уравнивания
- •3.1. Параметрические уравнения
- •3.2. Нормальные уравнения
- •3.3. Составление нормальных уравнений
- •3.4. Весовая функция
- •3.5. Решение нормальных уравнений способом обращения
- •3.6. Оценка точности по материалам уравнивания
- •3.7. Блок-схема параметрического способа уравнивания
- •3.8. Уравнивание нивелирной сети параметрическим способом
- •3.9. Уравнивание углов на станции параметрическим способом
3.5. Решение нормальных уравнений способом обращения
Умножив систему нормальных уравнений NttXt1 + Bt1 = 0 на обратную матрицу N-1
получают:
(34)
(35)
- решение нормальных уравнений способом обращения.
По определению обратной матрицы, N-1N = E. Это равенство используется для обоснования способа определения элементов обратной матрицы. Пусть t = 2.
Отсюда следует:
- 1-я система весовых нормальных уравнений.
- 2-я система весовых нормальных уравнений.
В общем случае в результате подобных действий получится t систем весовых нормальных уравнений по t уравнений в каждой системе. Эти системы имеют такую же матрицу коэффициентов, как и основная, с неизвестными δхj и отличаются от нее только столбцами свободных членов. В j-ом уравнении j-ой системы свободный член равен -1, остальные равны нулю. Системы весовых нормальных уравнений решают параллельно с основной системой, в общей схеме, с использованием дополнительных столбцов для свободных членов этих систем (табл. 9). Для контроля вычисленные значения элементов обратной матрицы Qij подставляют в суммарные уравнения, составленные для весовых систем. Например, для t = 2 эти уравнения будут иметь вид:
([paa] + [раb])Q11 + ([pab] + [pbb])Q12 - 1 = 0;
([paa] + [pab])Q21 + ([pаb] + [pbb]) Q22 - 1 = 0.
Для предварительного контроля служат равенства Qij = Qji (i ≠ j).
Элементы обратной матрицы Qij называют весовыми коэффициентами.
Таблица 9
Определение элементов обратной матрицы в схеме Гаусса
3.6. Оценка точности по материалам уравнивания
Среднюю квадратическую ошибку функции параметров определяют по формуле:
где
(36)
- средняя квадратическая ошибка единицы веса;
(37)
- обратный вес функции параметров или в матричном виде:
(38)
(39)
- обратный вес параметра, равный диагональному элементу обратной матрицы.
3.7. Блок-схема параметрического способа уравнивания
1. Анализируют совокупность измерений yi, определяют t - число необходимых измерений. Устанавливают систему весов измерений pi (i = 1, 2, ..., n).
2. Выбирают независимые параметры х1, х2, ..., хt, число которых равно t.
3. Составляют параметрические уравнения связи. Уравненные значения всех измеренных величин выражают в виде функций выбранных параметров.
4. Находят приближенные значения параметров х0j.
5. Параметрические уравнения связи приводят к линейному виду, вычисляют коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений поправок.
6. Составляют функцию параметров для оценки ее точности. Весовую функцию линеаризуют.
7. Составляют нормальные уравнения, вычисляют коэффициенты и свободные члены нормальных уравнений.
8. Решают нормальные уравнения, вычисляют поправки к приближенным значениям параметров и контролируют их.
9. Вычисляют поправки vi к результатам измерений, [pν²] и выполняют контроль νi и [pν²].
10. Вычисляют параметры, уравненные результаты измерений и выполняют контроль уравнивания.
11. Вычисляют обратные веса параметров и функций параметров.
12. Выполняют оценку точности результатов измерений, вычисляют среднюю квадратическую ошибку единицы веса.
13. Вычисляют средние квадратические ошибки уравненных величин.