3. Параметрический способ уравнивания
3.1. Параметрические уравнения
Пусть выполнено n измерений у1, у2, ..., уn с весами p1, p2, ..., pn; t - число необходимых измерений. Выбирают t независимых неизвестных - параметров - х1, х2, ..., хt. Это могут быть измеряемые и неизмеряемые (отметки, координаты определяемых пунктов) величины. Y1, Y2, ..., Yn - истинные значения измеренных величин; Х1, Х2, ..., Хt - истинные значения параметров. Между этими значениями может быть установлена исходная система параметрических уравнений связи, в которой измеренные величины представлены в виде функций выбранных параметров
Fi(X1, X2, ..., Xt) = Yi, (i = 1, 2, ..., n). (25)
С уравненными значениями измеренных величин и параметров система (25) принимает вид:
Fi(x1, x2, ..., xt) = yi + νi, (i = 1, 2, ..., n).
Или
Fi(x1, x2, ..., xt) - yi = νi, (i = 1, 2, ..., n). (26)
Функции Fi приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора. С этой целью вводят приближенные значения параметров х01, x02, ..., x0t, которые вычисляют по результатам измерений. Тогда
xj = x0j + δxj, (j = 1, 2, ..., t), (27)
где δхj - поправки к приближенным значениям параметров.
На основании (26) с учетом (27) будем иметь:
Обозначим
-
свободные члены параметрических
уравнений поправок;
- коэффициенты параметрических уравнений поправок;
(28)
- параметрические уравнения поправок.
Систему (28) запишем в матричном виде:
АntXt1 + Ln1 = Vn1, (29)
где
-
матрица коэффициентов;
- вектор поправок к приближенным значениям
параметров;
-
вектор свободных членов;
-
вектор поправок к результатам измерений.
3.2. Нормальные уравнения
Параметрические уравнения поправок
решают
по МНК, т.е. под условием [pv²] = min, в
результате чего получают систему
нормальных уравнений:
NttXt1 + Bt1 = 0 (30)
Здесь
- матрица коэффициентов нормальных уравнений.
- вектор свободных членов.
Представим систему нормальных уравнений в обычном алгебраическом виде:
(31)
3.3. Составление нормальных уравнений
Для составления нормальных уравнений коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений поправок помещают в таблицу (табл. 8) по строкам. Пусть t = 2.
Таблица 8
Таблица параметрических уравнений
Si = ai + bi + li (32)
- контрольные суммы.
[S] = [a] + [b] + [l] - контроль Si.
Контроль составления нормальных уравнений:
[paS] = [paa] + [pab] + [pal];
[pbS] = [pab] + [pbb] + [pbl];
[plS] = [pal] + [pbl] + [pll].
3.4. Весовая функция
Для оценки точности уравненных элементов геодезической сети составляют весовую функцию. Это - функция параметров. Оцениваемую величину выражают через параметры. Функцию приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора.
Обозначим
F(x01, x02, ..., x0t) = f0 - приближенное значение функции, обычно не вычисляется;
-
частные производные функции по параметрам;
F = f0 + f1δx1 + f2δx2 + ... + ftδxt = f0 + FT1tXt1 (33)
- весовая функция в линейном виде;
-
вектор коэффициентов функции.