18. Метод наименьших квадратов.

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.

МНК позволяет получить такие оценки параметров а и в, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений ре­зультативного признака (у) от расчетных (теоретических)  ми­нимальна:

Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю.

Формулы в тетради

19. Применение мнк для оценивания параметров регрессионного уравнения.

См.вопрос 18

Для оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов дает оценки, имеющие наименьшую дисперсию в классе всех линейных оценок, если выполняются предпосылки нормальной линейной регрессионной модели.

МНК минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений от модельных значений .

Согласно принципу метода наименьших квадратов, оценки и находятся путем минимизации суммы квадратов

по всем возможным значениям и при заданных (наблюдаемых) значениях.

В результате применения МНК получаем формулы для вычисления параметров модели парной регрессии.

 (3)

20. Свойства оценок параметров регрессионных уравнений, полученных по мнк.

1. МНК оценки не смещенные, т.е. их матожидания равны истинным значениям

M(b_j)-beta_j

2. Дисперсия и ковариация определяются по формулам:

D(b_j)=c_jjσ₀²

Cov(b_jb_l)=c_jlσ₀²

3. Оценки, полученные по МНК, эффективные.

σ²(b_j) <=σ²(ϴ_j)

21. Понятие и свойства дисперсии случайной величины.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: .

Свойства:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

22. Ошибки 1-го и 2-го рода при использовании статистических гипотез.

Ошибка 1-го рода возникает в общем случае, когда Н₀ верна, а мы ее отвергаем (не значимый фактор признаем значимым, не экономим ресурсы).

Ошибка 2-го рода возникает, когда Н₀ неверна, а мы ее принимаем (фактор влияет на ЦФ, а мы его не учитываем, в результате получаем неправильную модель).

23. Понятие ковариации и формулы для ее расчета для генеральной и выборочной совокупностей.

Ковариация – степень линейной зависимости двух случайных величин.

При наличии п наблюдений двух переменных (х и у) выборочная ковариация между х и у задается формулой:

Для различения ковариационной генеральной и выборочной совокупности используем обозначение  с прописной буквы применительно к выборочной ковариации и  или  для ковариации между х и у в генеральной совокупности.