новая папка / Исследование управляемости транспортного

где χδ () характеристическая функция множества Uδ (0).

Ясно, что оценочная функция (6) квадратично интегрируема по совокупности переменных p, q,t,t′ в (T 3 )4 , что до-

Тогда в силу леммы 1 и 3 получим, что абсолютная величина ядра W (p, q, s,t; z) оператора W (z) при z ≤ Emin оценивается через

Так как обе оценочные функции квадратично интегрируемы по совокупности переменных p,q,t,t′ в (T 3 )4 опе-

ратор является оператором из класса Гильберта-Шмидта при z (− ∞, Emin ] [Emax , Emax / 2].

Рассуждая аналогично, мы имеем непрерывность операторнозначной функций в равномерной операторной топо-

логии в z (−∞, Emin ] [Emax , Emax / 2]. Лемма 6 полностью доказана. Следующая лемма доказывается аналогично лемме 6.

Лемма 7. Если ∆(p1;0)≠ 0 и ∆(q1;0)≥ 0, то при z ≤τess (H ) оператор W (z) принадлежит классу Гиль- берта-Шмидта и операторнозначная функция W () является непрерывным в равномерной операторной то-

пологии в (− ∞,τess (H )].

5. Конечность дискретного спектра оператора H . В этом пункте, пользуясь утверждениями пунктов 3, 4 установим конечность число собственных значений, лежащих вне существенного спектра оператора H .

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 3. Если ∆(p1;0)≠ 0 то дискретный спектр оператора H разве лишь конечна.

Доказательство. Сначала отметим, что из положительности оператора V =V1 +V2 вытекает, что оператор

H = H0 −V не имеет собственных значений на (12, +∞).

Допустим, что модельный оператор имеет бесконечное число собственных значений zk (Emax ,0)и zk → Emax при

k → ∞. Обозначим через ψk , соответствующие ортонормированные собственные функции. Тогда по леммы 5 верно

при z → Emax + 0 и, следовательно,

1 = ψk = W (zk )ψk ≤ W (zk )−W (Emax )ψk + W (Emax )ψk → 0

при k → ∞. Это противоречие означает, что точка z = Emax не может быть предельной точкой множества собственных значений модельного оператора H лежащих в (Emax ,0). Рассуждая аналогично показывается, что точки

z = 0 и z = Emin не может быть предельной точкой множества собственных значений этого оператора, лежащих в

(Emax ,0) и (− ∞; Emin ) соответственно.

Если ∆(q1;0)≥ 0, то пользуясь леммами 1, 2, 4, 5 и 7 совершенно аналогично доказывается конечность числа соб-

ственных значений оператора H, лежащих в (−∞,τess (H )). Теорема 3 полностью доказана.

Литература:

1.Г. М. Жислин, «О конечности дискретного спектра операторов энергии квантовых систем многих частиц», ДАН СССР, 207:1 (1972), 25–28.

2.Д. Р. Яфаев, «О конечности дискретного спектра трёхчастичного оператора Шpедингеpа», ТМФ, 25:2 (1975), 185–195.

3.Ж. И. Абдуллаев, С.Н. Лакаев, «Конечность дискретного спектра трехчастичного оператора Шредингера на решетке», ТМФ, 111:1 (1997), 94–108.

4.С. Н. Лакаев, М.Э. Муминов, «Существенный и дискретный спектр трехчастичного оператора Шредингера на решетке», ТМФ, 135:3 (2003), 478–503.

5.S. Albeverio, S.N. Lakaev, R. Kh. Djumanova, «The essential and discrete spectrum of a model operator associated to a system of three identical quantum particles», Rep. Math. Phys., 63:3 (2009), 359–380.

6.S. Albeverio, S.N. Lakaev, Z.I. Muminov, «On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three-particles on a lattices», Russ. J. Math. Phys., 14:4 (2007), 377–387.

7.Т. Х. Расулов, «Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке», ТМФ, 163:1 (2010), 34–44.

Оценивание рабочей ёмкости и эквивалентной диэлектрической проницаемости изоляции витой пары кабеля связи

Смородинов Дмитрий Александрович, аспирант

Самарский государственный технический университет

Первичные и вторичные параметры передачи и параметры взаимных влияний кабелей связи определяются геометрическими и электрическими параметрами направляющей среды. Не имеющими общего решения являются задачи оценивания рабочей ёмкости кабеля и эквивалентной диэлектрической проницаемости среды между двумя проводниками. Решение данной задачи является актуальным при алгоритмизации автоматического управления параметрами экструдируемой пористой изоляции с введением межконтурной связи, обеспечивающей компенсацию влияния динамической ошибки регулирования одного из параметров (диаметра или диэлектрической проницаемости изоляции) на обобщенный параметр качества кабеля (рабочую ёмкость или волновое сопротивление) путем формирования возмущенного процесса в контуре автоматической стабилизации второго параметра (диэлектрической проницаемости или диаметра изоляции) [1]. Рассматривается задача определения электрических параметров витой пары, которая составляет основу радиочастотных кабелей для передачи данных (LAN-кабель). На рис. 1 показано сечение неэкранированной витой пары, содер-

жащей две жилы, диаметры изоляций которых различны.

Рис. 1. Сечение LAN-кабеля

Традиционно эквивалентная диэлектрическая проницаемость направляющей среды оценивается как средневзвешенное значение изоляции обеих жил, с учетом соотношения площадей их сечения. Данная оценка характеризуется невысокой точностью, что недопустимо при проектировании и изготовлении кабелей с высокой пропускной способностью. Для оценки рабочей ёмкости традиционно останавливаются на формуле, выведенной В.Н. Кулешовым [2], которая также характеризуется невысокой точностью. Рассматривается решение данной задачи с помощью конформных преобразований.

Для получения исходных соотношений, определяющих процессы в цепях, используют первичные параметры цепи. Параметры R и L, отображают в эквивалентной схеме (рис. 2) продольное сопротивление цепи Z=R+jωL, а параметры

C и G – поперечную суммарную проводимость цепи Y=G+jωC, где R – погонное сопротивление линии, L – погонная индуктивность, C – погонная емкость линии, G – погонный коэффициент утечки.

Рис. 2. Эквивалентная схема линии связи

Если значение первичных параметров цепи остаются неизменными по всей длине, то такую цепь называют регулярной (однородной) [3]. При этом активные потери электромагнитной энергии при её распространение вдоль цепи обусловлены первичными параметрами R и G: первый характеризует тепловые потери в проводниках и других металлических частях направляющей системы (экран, оболочка, броня), второй – потери в изоляции.

Рассмотрим однородную цепь с первичными параметрами R, L, C, G (рис. 2). Система дифференциальных уравнений, определяющая напряжение и ток в любой точке цепи как функции координаты x, имеет вид [4]:

(1)

Данная система справедлива по отношению к любой однородной цепи независимо от её конструкции. Изменение конструкции приводит только к изменению значений первичных и вторичных параметров, в том числе волнового сопротивления:

(2)

Будем рассматривать LAN-кабель как линию без потерь. Это значит, что считаем утечку равной нулю (G=0), т.е. полагаем, что пространство между проводниками является непроводящим. Кроме того, пренебрегаем потерями в проводах, считая их идеально проводящими (R=0). Так как для идеальных проводников внутренняя индуктивность равна нулю, то в этом случае полная погонная индуктивность линии L сводится к её внешней индуктивности Le. При этих упрощениях формула (2) принимает вид:

Для определения рабочей ёмкости воспользуемся конформным преобразованием, используя дробно-линейную функцию, которая имеет вид [5]:

(4)

где a, b, c, d – постоянные, причем ad-bc≠0. Решая соотношение (4) относительно z, получаем также дробно-ли- нейное преобразование:

Дробно-линейное преобразование обладает тем свойством, что любая окружность в плоскости z переходит в окружность на плоскости ω и обратно, при этом прямая может рассматриваться как окружность с бесконечно большим радиусом.

Дробно-линейное преобразование обладает также важным свойством сохранения симметричных точек: оно преобразует любую пару точек z1 и z2, симметричных относительно произвольной окружности Cz в плоскости z, в пару точек ω1 и ω2, симметричных относительно Cω – образа окружности Cz на плоскости ω [5].

Используем свойство дробно-линейного преобразования сохранять окружности, и отобразим область между жилами LAN-кабеля (рис. 3) на концентрическое кольцо, которое представляет собой простейшую двухсвязную область.

Рис. 3. Взаимоположение жил LAN-кабеля в плоскости Z

Рис. 4. Взаимоположение жил LAN-кабеля в плоскости W

Если разыскать положение точек z1 и z2, одновременно симметричных относительно обеих данных окружностей С1 и C2, которые совпадают с поверхностями электродов, то при отображении

окружностей С1 и C2 перейдут в окружности С’1 и C’2, для которых точки ω1 = 0 и ω2 = ∞ также будут симметричными. Отсюда следует, что окружности С’1 и C’2 – концентрические, и их центр совпадает с началом координат в плоскости ω, что дает возможность определить рабочую ёмкость, возникающую между жил LAN-кабеля, по известной формуле для сферического конденсатора (рис. 4).

Найдем теперь симметричные точки относительно окружностей С1 и C2. Из рис. 3 имеем:

,

где Dи1, Dи1 – диаметры изоляций соответственно, d – диаметр проводящей жилы, получим:

. (28)

В выражение (14) подставим (28), и учитывая, что:

,

получим:

. (29)

Выражение (29) справедливо и для экранированной витой пары LAN-кабеля, если ввести в него коэффициент экранирования и коэффициент скрутки.

Литература:

1.Чостковский Б.К. Структурный синтез оптимального управления обобщенными параметрами электрических кабелей связи // Вестник СамГТУ Сер. «Технические науки». Самара, 2007. № 1. С. 54–57

2.Власов В.Е. Кабели цифровых сетей электросвязи. Конструирование, технология, применение/ В.Е. Власов, Ю.А. Парфенов. – М.: Эко-Трендз, 2005.

3.Ионов А.Д. Линии связи: Учеб. пособие для вузов/ А.Д. Ионов, Б.В. Попов. – М.: Радио и связь, 1990.

4.Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 1998.

5.Миролюбов Н.Н. Методы расчета электростатических полей. – М.: Наука, 1963.