МОСКОВСКАЯ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
_______________________________________________________________________
ПРОГРАММА
для подготовки к итоговому экзамену по дисциплине «Математика» (четырехсеместровый курс)
для студентов всех форм обучения
IV семестр 2006/2007 уч.г.
Индекс МАТ44.
I. Теоретическая часть.
-
Определители. Определения, свойства, способы вычисления.
-
Решение систем линейных алгебраических уравнений по теореме Крамера.
-
Матрицы. Определения, свойства, обратная матрица.
-
Матричный способ записи и решения систем линейных алгебраических уравнений.
-
Ранг матрицы. Способы вычисления. Теорема Кронекера-Капелли.
-
Алгоритм исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений.
-
Векторы. Определения, свойства, линейные операции, разложение вектора по базису.
-
Скалярное произведение. Определения, свойства, решение в координатной форме.
-
Векторное произведение. Определения, свойства, решение в координатной форме.
-
Смешанное произведение. Определение, свойства, решение в координатной форме.
-
Уравнения прямой на плоскости. Отображение уравнений на графиках.
-
Основные задачи на прямую на плоскости.
-
Линии второго порядка на плоскости. Окружность и эллипс. Определения, уравнения, основные свойства.
-
Гипербола и парабола. Основные определения, уравнения и свойства.
-
Уравнения плоскости в пространстве.
-
Основные задачи на плоскость.
-
Уравнения прямой в пространстве.
-
Основные задачи на прямую в пространстве.
-
Функция. Определения и свойства.
-
Основные элементарные функции. Определения, формулы, свойства, графики.
-
Построение графиков элементарных функций.
-
Предел числовой последовательности.
-
Предел функции в точке и в бесконечности.
-
Бесконечно малые функции и их свойства.
-
Основные теоремы о пределах функции.
-
Первый и второй замечательные пределы, их следствия.
-
Сравнение бесконечно малых функций.
-
Неопределенные выражения. Приемы раскрытия неопределенных выражений.
-
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.
-
Основные свойства функции, непрерывной в точке. Непрерывность функции на отрезке.
-
Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая формы комплексного числа.
-
Арифметические операции над комплексными числами.
-
Производная. Определение, геометрический смысл.
-
Дифференциал. Определение, геометрический смысл.
-
Основные правила дифференцирования.
-
Таблица производных основных элементарных функций.
-
Правила дифференцирования сложной и неявной функций.
-
Производные высших порядков. Определение, правила нахождения.
-
Правило Лопиталя.
-
Основные теоремы дифференциального исчисления.
-
Возрастание и убывание функции. Определение, графическое представление.
-
Теоремы об условиях возрастания и убывания функции.
-
Экстремумы функции. Определения, необходимое условие существования экстремума.
-
Достаточные условия существования экстремума.
-
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
-
Выпуклость функции. Определение, условия выпуклости функции.
-
Точки перегиба. Определение, условия существования.
-
Асимптоты графика функции. Определение, уравнения асимптот.
-
Схема исследования функции и построения ее графика.
-
Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные понятия и определения.
-
Основные свойства неопределенного интеграла.
-
Основные методы интегрирования.
-
Таблица неопределенных интегралов от простейших функций.
-
Рациональные дроби. Основные понятия. Разложение рациональной дроби на простейшие.
-
Интегрирование простейших рациональных дробей.
-
Интегрирование тригонометрических выражений.
-
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
-
Определенный интеграл. Определение, геометрический смысл.
-
Основные свойства определенного интеграла.
-
Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
-
Основные методы вычисления определенного интеграла.
-
Вычисление площади плоской криволинейной трапеции.
-
Функция двух переменных. Определение, способы задания, область определения.
-
Предел функции двух переменных.
-
Непрерывность функции двух переменных в точке и в области.
-
Частные производные функции двух переменных. Определение, геометрический смысл, алгоритм вычисления.
-
Частные и полный дифференциалы функции двух переменных. Определения, вычисление.
-
Сложные и неявные производные функции двух переменных.
-
Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Экстремумы функции двух переменных. Определения, необходимое условие существования.
-
Достаточное условие существования экстремумов функции двух переменных.
-
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определения, уравнения.
-
Двойной интеграл. Определение, геометрический смысл.
-
Основные свойства двойного интеграла.
-
Вычисление двойного интеграла в прямоугольной системе координат.
-
Замена переменной в двойном интеграле.
-
Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла.
-
Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка. Основные определения, ДУ с разделенными и разделяющимися переменными.
-
Однородные ДУ первого порядка. Определение, методика решения.
-
Линейные ДУ первого порядка, подстановка Бернулли, метод Лагранжа.
-
ДУ высших порядков. Основные понятия и определения., интегрирование ДУ, допускающих понижение порядка.
-
Числовой ряд. Основные понятия и определения.
-
Основные свойства сходящихся числовых рядов.
-
Признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов.
-
Знакочередующиеся числовые ряды. Определение. Признак сходимости Лейбница.
-
Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Признак Даламбера.
-
Степенной ряд. Основные понятия и определения.
-
Сходимость степенных рядов в точке, интервале, области. Формулы радиуса, интервала и области сходимости.
-
Множества. Операции с множествами.
-
Диаграммы Эйлера-Венна.
-
Декартово произведение множеств. Функция. Взаимно-однозначное соответствие.
-
Мощность конечных и бесконечных множеств. Счетность. Теорема Кантора.
-
Высказывания. Основные операции с высказываниями.
-
Таблицы истинности высказываний.
-
Основные тождества алгебры логики.
-
Предикаты. Множества истинности предикатов.
-
Кванторы. Тождества алгебры предикатов.
-
Комбинаторика. Выборки. Упорядоченные и неупорядоченные выборки.
-
Факториал. Свойства факториалов.
-
Сочетания. Свойства сочетаний. Правило суммы и правило произведения.
-
Треугольник Паскаля и бином Ньютона.
-
Упорядоченные множества (кортежи). Размещения. Перестановки.
-
Размещения с повторениями.
-
Комбинаторные уравнения.
-
Случайные события и случайные величины. Вероятностная модель.
-
Сумма и произведение событий. Дополнительное событие. Достоверное и невозможное события. Независимые и несовместные события.
-
Вероятность события. Полная группа. Элементарное событие. Базис равновероятных элементарных событий.
-
Сумма и произведения вероятностей.
-
Формула полной вероятности и формула Байеса.
-
Функция распределения случайной величины. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия.
II. Типовые задачи.
-
Определители (детерминанты).
Вычислить определители:
-
;
-
;
-
.
-
Операции с квадратными матрицами.
Даны матрицы: и . Найти:
-
5А – В;
-
3Аt – 2B;
-
АВ.
-
Операции с прямоугольными матрицами
-
Даны матрицы А= и В=. Найти их произведение.
-
-
Ранг матрицы. Расширенная матрица системы уравнений. Частные определители.
-
Определить ранг матрицы ;
-
Вычислить частные определители системы .
-
-
Обратные матрицы.
-
Найти обратные матрицу для матрицы .
-
-
Системы линейных алгебраических уравнений
-
Решить систему методом Крамера.
-
-
Операции с векторами на плоскости.
Даны векторы и . Найти:
-
длины этих векторов;
-
;
-
скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
-
Операции с векторами в пространстве
Даны векторы и . Найти:
-
Длины этих векторов;
-
;
-
Скалярное произведение данных векторов и угол между ними.
-
Векторное и смешанное произведение векторов.
-
Определить объём параллелепипеда, построенного на векторах (1;0;1), (4;-1;-1), (1;0;1).
-
-
Прямые и окружности на плоскости.
-
Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.
-
-
Определить угловой коэффициент "k" и величину отрезка "b", отсекаемого прямой на оси OY.
-
Даны уравнения прямых: а) x+y+1=0; б) x+y=0; в) 2·x+y+2=0; г) y=2·x
Какие из заданных прямых параллельны?
-
Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент к=1.
-
Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой
3у+4х-12=0 с осями координат.
-
Определить угол между прямыми х–2у–2=0 и у=–2 х+3.
-
Составить уравнение прямой, проходящей через точки и .
-
Определить, с какими из прямых а) у=3; б) у=-х; в) х=5; г) у=2х пересекается окружность х2 +у2=25.
-
Определить координаты центра и радиус окружности х2 +у2 –4х+8у–16=0.
-
Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой лежит в точке С(-4;5).
-
Определить координаты центра окружности, заданной уравнением .
-
Составить уравнение касательной к окружности в точке (3;–1).
-
Составить каноническое уравнение окружности, представленной на рисунке.
-
Кривые второго порядка .
-
Определить координаты фокусов эллипса 25x2+9y2=900.
-
Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х2 =4у .
-
Определить, какая кривая задается уравнением:
-
-
;
-
;
-
;
-
.
-
Прямые, плоскости и сферы.
-
Определить, какое из уравнений а) 2x-3y+z+1=0; б) x+2y-6=0; в) x+3y=0 определяет плоскость, параллельную оси OZ.
-
Найти координаты нормального вектора к плоскости 2·x-3·y+z-6=0.
-
Определить взаимное расположение прямых и .
-
-
Поверхности второго порядка.
-
Определить, какая поверхность задаётся уравнением
-
-
;
-
;
-
.