Примеры решения задач

1. Привести формулировку теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений

(28)

с начальным условием

(29)

Решение. Здесь система уравнений рассматривается в областиСледовательно, если вектор-функцияв областинепрерывна похи удовлетворяет условию Липшица пото точкаимеет окрестностьв которой решение системы (28) с начальным условием (29) существует и единственно.

2. Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует единственное решение системы

Решение. Систему дифференциальных уравнений можно переписать в виде Проинтегрировав это векторное равенство, мы получим:

Пусть параллелепипед в пространствеопределяемый неравенствамии пустьрешение системы, определённое наТогдаа значит,Возможные значениянайдутся теперь из условия Последнее неравенство равносильно следующему:Чтобы нашлось числоудовлетворяющее этому неравенству, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был больше или равен нулю. Таким образом,т.е.Следовательно, можно утверждать, что на отрезкерешение системы существует и единственно.

3. Даны две непрерывные функции иМогут ли кривые, изображённые на рисунке, быть интегральными кривыми уравнения: а)б)

Решение. Обозначим точку пересечения кривых черезКривые на рисунке не могут быть интегральными кривыми уравнениятак как это противоречит теореме существования и единственности решения. Иначе обстоит дело с уравнениемЗдесь теорема существования и единственности утверждает единственность решения, удовлетворяющего двум условиям:Для кривых, изображённых на рисунке,имеет разные значения, и эти кривые могут являться интегральными кривыми рассматриваемого уравнения второго порядка.

Задачи для самостоятельного решения

1. При каких на отрезкесуществует решение системы

удовлетворяющее начальному условию

2. Сколько существует решений уравнения удовлетворяющее одновременно двум условиям:если: а)б)в)

3. Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует единственное решение уравнения с начальным условием

4. Могут ли кривые, изображённые на рисунке, являться интегральными кривыми уравнения: а)б)в)еслинепрерывные функции?

Ответы:1. При всех2. а) Ни одного, б) одно, в) бесконечно много. 3.4. а) Нет, б) нет, в) да.

6. Теорема существования и единственности для линейных уравнений и систем

Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид

(30)

Здесь неизвестные функции (искомые), аизвестные функции, которые мы будем предполагать непрерывными на отрезкечисловой прямой. Используя векторные и матричные обозначения, систему (30) можно переписать так:

(31)

где столбец из неизвестных функций, аиз известных. Требуется найти решение системы, удовлетворяющее начальному условию

Заметим, что система (31) является частным случаем более общей системы рассмотренной в предыдущем параграфе. А именно, у линейной системы правая часть представляет собой линейную функцию от Вектор-функцияопределена дляи любыхследовательно, областьдля линейной системы представляет собой часть пространстваограниченную двумя плоскостямии(см. рисунок).

Далее будет доказано, что, в отличие от произвольных систем дифференциальных уравнений, для линейных систем можно гарантировать существование решения на всём отрезкеа не только на маленьком промежуткеГеометрически это означает, что через каждую точкупроходит интегральная кривая, которая одним концом“упирается”в плоскостьа другим – в плоскость(т.е. интегральные кривые“не уходят в бесконечность”). Сформулируем и докажем это утверждение.

Теорема существования и единственности решения линейной системы.Пусть дана линейная системагдематрица и столбец, состоящие из непрерывных нафункций. Тогда для каждогои любого векторасуществует решение системы, определённое на всём отрезкеи это решение единственно.

Доказательство. Единственность следует из теоремы для произвольных систем, поэтому надо доказать лишь существование решения на всём отрезкеДля этого будем использовать метод последовательных приближений. Построим последовательность вектор-функций

Так как компоненты матрицы являются непрерывными функциями на отрезкето они ограничены. Поэтому существует константатакая, чтодля всехи любого вектораОценим разности двух соседних членов последовательностиДля этого положимТеперь получаем:

и т.д., т.е.Отсюда следует, что для любых

ПоложимТогда

Очевидно,припоэтому последовательностьфундаментальна, а значит, равномерно сходится на отрезкеПредельная функция этой последовательности, очевидно, является решением дифференциального уравнения.

Наконец, сформулируем теорему существования и единственности решения линейного уравнения п-го порядка, которая является непосредственным следствием только что доказанной теоремы.

Теорема существования и единственности решения линейного уравнения.Пусть дано линейное дифференциальное уравнение

(32)

где инепрерывные на отрезкефункции. Тогда для каждого числаи любой точкисуществует решениеуравнения (32), определённое на отрезкеи удовлетворяющее начальным условиям

95