Типовые задачи
Доказать эквивалентность на R метрик
определяемых формулами (5), (6), (7).
Доказательство.
Пусть
R
и
Тогда
при всех
Следовательно,
Далее,
т.е.
Наконец, ясно, что
Таким образом,
значит, метрики
эквивалентны.
Какие последовательности сходятся в дискретном пространстве?
Решение.
Пусть
дискретное пространство,
последовательность
точек из Х и
Тогда
при
Взяв
получим:
при
Таким образом, сходящимися являются те
и только те последовательности
которые стабилизируются, т.е. обладают
свойством
при некотором
Выяснить, является ли дискретное пространство полным.
Решение.
Пусть
фундаментальная последовательность в
дискретном пространстве Х. Тогда
при
Взяв
получим, что
при
Отсюда видно, что
сходящаяся последовательность. Значит,
Х полно.
Выяснить, сходятся ли в
последовательности: а)
б)
в)
Решение.
а) Если
сходится в
к функции
то
при
и всех
Подставив любое
мы получим
а подставив
получим
Таким образом, функция
не является непрерывной на отрезке
а значит,
расходится.
б) При
каждом фиксированном
мы имеем:
Значит, если
сходится в
то сходится к функции, тождественно
равной нулю, и
Найдём наибольшее значение функции
на отрезке
Имеем:
откуда
или
Далее,
Так как
то
при
Следовательно,
в) При
каждом фиксированном
мы имеем:
Далее,
Следовательно,
при
и
.
Так как
не стремится к нулю, то
не сходится в
Выяснить, является ли полным пространство Р многочленов с нормой
Решение.
Пространство многочленов рассматривается
здесь как подпространство пространства
Известно, что
Рассмотрим последовательность многочленов
.
Ясно, что
т.е. последовательность
сходится к функции
в пространстве
Так как функция
не является многочленом, то
фундаментальная последовательность в
пространстве
не являющаяся сходящейся. Следовательно,
не полно.
Привести пример последовательности, которая сходится в пространстве
но не сходится в
Решение.
Примером может служить последовательность
Так как
то
не сходится в
Однако, она сходится в
к нулю, так как
при
Задачи для самостоятельного решения
Эквивалентны ли метрики и
на
Является ли полным пространство
всех функций, ограниченных на отрезке
с нормой
Пусть и последовательности точек нормированного пространства Х, причём сходится, а
расходится. Сходится ли последовательность
Привести пример фундаментальной, но не сходящейся последовательности в пространстве R с метрикой
Пусть
пространство всех функций, имеющих
непрерывную производную на отрезке
с нормой
Какое из утверждений истинно для
последовательностей
(А) если
сходится в
то
сходится в
(Б) если
сходится в
то
сходится в
Ответы:
1. Нет. 2. Да. 3. Расходится. 4.
5. (А) ложно, (Б) истинно.