Типовые задачи
Выяснить, является ли метрическим пространством данное множество:
а)
множество всех ограниченных
последовательностей
действительных чисел, где расстояние
между
и
определяется формулой
б)
множество всех интервалов
числовой прямой, где
в)
множество R
всех действительных чисел, где
г)
множество всех многочленов
где
R,
а расстояние между
и
определяется по формуле
Решение.
а) Данное множество является метрическим
пространством, даже нормированным,
причём норма выражается формулой
Проверим это. Выполнение аксиом (Н1),
(Н2) здесь очевидно. Кроме того,
значит, выполнена аксиома (Н3).
б)
Данное множество не является метрическим
пространством, так как не выполнена
аксиома (М1). Действительно, для элементов
и
например, мы имеем:
но
в)
Проверим, что (R,
метрическое пространство. Здесь
выполнение аксиом (М1), (М2) очевидно,
нужно проверить лишь неравенство
треугольника. Имеем:
значит, аксиома (М3) также выполнена.
г)
Положим
Ясно, что
и
Далее, при
R
имеем:
т.е. выполнено (Н2). Наконец,
т.е. выполнено (Н3). Таким образом, множество
многочленов является нормированным, а
значит, и метрическим пространством.
2.
Доказать, что евклидово пространство
над полем действительных чисел (т.е.
пространство со скалярным произведением)
будет являться нормированным пространством,
если положить
для всех
Доказательство.
Из аксиом скалярного произведения
следует, что
и
Кроме того,
Наконец, из неравенства Шварца (
)
получаем:
откуда
следует неравенство треугольника.
3.
Вычислить норму функции
а) в пространстве
б) в пространстве
в) ) в пространстве
Решение.
а)
б)
в)
Доказать, что если
метрика на множестве Х,
то
тоже метрика.
Доказательство.
Так как
то
При этом
и
Осталось доказать неравенство
треугольника. Для краткости положим
Так как
метрика, то
Отсюда
т.е.
Вычислить расстояние между функциями
и
а) в пространстве
б) в пространстве
в) в пространстве
Решение.
а)
б)
в)
Задачи для самостоятельного решения
Доказать, что если метрика пространства Х, то
и
также метрики на Х.Является ли метрикой на множестве R следующая функция:
а)
б)
в)
Вычислить норму функции
а) в пространстве
б) в пространстве
в) в пространстве
Вычислить расстояние между функциями
и
а) в пространстве
б) в пространстве
в) в пространстве
Доказать, что если в нормированном пространстве Х норма определяется скалярным произведением, то имеет место равенство
(равенство
параллелограмма).
Вывести отсюда, что в пространстве
норма не определяется скалярным
произведением.
Ответы:
2. а) нет; б)
да; в) нет. 3. а)
б)
в)
4. а)
б)
2. Предел последовательности в метрическом пространстве.