Глава 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы

1. Общие замечания. Однородные и неоднородные уравнения и системы

Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида

(1)

где непрерывные на некотором отрезке функции.

Системой линейных дифференциальных уравнений (первого порядка) называется система

(2)

где непрерывные на отрезке функции. Система (2) может быть записана в матричной форме:

(3)

где матрицы и составлены из функций а

вектор-функция, которую требуется найти.

Введём в рассмотрение оператор дифференцирования Применение этого оператора к функции будет обозначать её дифференцирование, т.е. Произведение операторов – это оператор, действие которого заключается в последовательном применении этих операторов к функциям. Следовательно, и т.д. Оператор является линейным в том смысле, что

и

Если положить то уравнение (1) запишется короче:

(4)

Это уравнение называется линейным неоднородным, а уравнение

(5)

линейным однородным. Аналогично этому система (3) – неоднородная, а система

(6)

однородная. Заметим, что сумма двух решений однородного уравнения (или однородной системы) и вообще любая линейная комбинация решений также являются решениями уравнения (системы): действительно, если и то для систем доказательство аналогичное.

Если какое-либо решение неоднородной системы (3), а решение однородной системы (6), то мы имеем и Складывая эти два равенства, мы получим следовательно, является решением неоднородной системы. Итак, сумма решения однородной системы с решением неоднородной является решением неоднородной. Пусть теперь решения неоднородной системы. Тогда т.е. решение однородной системы. Так как то мы получим, что всякое решение неоднородной системы получается из другого решения этой системы прибавлением к нему подходящего решения однородной системы. Какое-либо фиксированное решение однородной системы назовём частным решением. Только что проведённые рассуждения приводят к следующей теореме:

Теорема 1. Всякое решение неоднородной системы получается из какого-либо частного решения этой системы прибавлением к нему подходящего решения однородной системы

Эту теорему можно записать символически следующим образом:

Таким образом, чтобы найти все решения неоднородной системы, достаточно найти какое-либо её решение (частное) и прибавить к нему все решения однородной системы.

Аналогичная теорема имеет место для линейных уравнений -го порядка. А именно:

Теорема 2. Всякое решение неоднородного уравнения является суммой какого-либо (частного) решения этого уравнения и подходящего решения однородного уравнения

Символическая запись этой теоремы имеет следующий вид: