2. Фундаментальная система решений однородной системы м однородного уравнения

Пусть дана однородная система где матрица, состоящая из непрерывных на отрезке функций Фундаментальной системой решений этой системы называется совокупность вектор-функций определённых на отрезке и обладающих следующими свойствами:

1. линейно независимы;

2. всякое решение линейно выражается через т.е. представимо в виде где постоянные.

Не случайно количество функций, входящих в фундаментальную систему решений, совпадает с количеством уравнений. Мы докажем, что система линейных уравнений первого порядка имеет фундаментальную систему решений, состоящую из п функций.

Теорема 1. Пусть дана система где матрица размера состоящая из функций непрерывных на отрезке Тогда существует фундаментальная система решений данной системы.

Доказательство. Возьмём какие-нибудь линейно независимых постоянных векторов пространства например, Пусть точка отрезка По теореме существования и единственности решения системы можно найти такие вектор-функцию удовлетворяющих системе и начальному условию Докажем, что и есть фундаментальная система решений.

Вначале докажем, что функции линейно независимы. Действительно, пусть для некоторых Подставив в это тождество получим: т.е. Так как векторы линейно независимы, то что м требовалось доказать.

Теперь докажем, что любое решение системы является линейной комбинацией вектор-функций Пусть любое решение системы. Тогда вектор из Так как базис пространства то для некоторых Положим Так как система дифференциальных уравнений – линейная однородная и функции её решения, то функция как их линейная комбинация, также является решением. Кроме того, Таким образом, и Ввиду единственности решения мы получаем, что Следовательно,

Рассмотрим теперь линейное уравнение п-го порядка

(7)

где функции, непрерывные на отрезке Фундаментальной системой решений уравнения (7) называется совокупность непрерывных на отрезке функций удовлетворяющих условиям:

1. линейно независимы;

2. любое решение уравнения линейно выражается через функции т.е. представляется в виде где постоянные числа.

Теорема 2. Всякое однородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет фундаментальную систему решений, состоящую из п функций.

Доказательство. Выведем эту теорему из теоремы 1, сведя уравнение п-го порядка к системе. Очевидно, уравнение (7) равносильно системе дифференциальных уравнений первого порядка

(8)

при этом По теореме 1 существует фундаментальная система решений системы (8). Из вида системы (8) следует, что вектор-функции имеют вид Проверим, что и есть фундаментальная система решений уравнения (7). Действительно, если то, дифференцируя это равенство, будем получать откуда следует равенство Так как линейно независимы, то Если теперь любое решение уравнения (7), то решение системы (8). Следовательно, для некоторых а значит,

Замечание. Результаты этого параграфа показывают, что все решения линейной однородной системы п дифференциальных уравнений первого порядка, а также все решения линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка образуют линейное пространство над полем действительных чисел. Фундаментальная система решений – базис этого пространства.