Решение типовых примеров

Пример 1. Решить уравнение

Решение: Перепишем исходное уравнение в виде

Разделив обе части последнего уравнения на , получим:

или .

Случаю отвечают два дополнительных решения . Отметим, что уравнение можно упростить, взяв синус от обеих его частей:

Ответ: , .

Пример 2.

Решение: (Разделили данное уравнение на ). Тогда

.

Дополнительные решения , определяемые из условия , получаются из общего интеграла при .

Ответ: .

Пример 3. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение:

(подставили в общий интеграл начальные условия ), .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение: (tgx tgy 0),

, .

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение .

Решение:

, .

Так как ‑ решения, то .

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение

Решение: где ;

или

а так как ‑ решение, то

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение:

. Но – решение, поэтому

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 9. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 10. Решить уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 11. 213.

Решение:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1. , при х=0 Ответ: .

2. Ответ:

3. (1+ х²)dy+ydx= 0, y=1, при х=1. Ответ:

4. Ответ: (kZ), х=0

5. у=0 при х=1. Ответ: 2е^-у(у+1)=х²+1.

6. при х=1. Ответ:

7. . Ответ:

8. у+cos(x+2y)=cos(x-2y), y= при х=0. Ответ:

9. Ответ: .

10. при . Ответ: .

11. при . Ответ:

12. Ответ: .

13. Ответ:

14. Ответ: x

15. Ответ:

16. Ответ:

17. Ответ: y = a .

18. Ответ:

19.

Ответ:

20.

Ответ: .

21. Ответ:

22.

Ответ:

23.

Ответ:

24. 5e^x tgydx+(1-e^x)sec²ydy=0 Ответ: y=

25. Ответ:

§2. Однородные уравнения

К уравнениям с разделяющимися переменными после надлежащей подстановки приводятся однородные уравнения. Под однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка мы понимаем уравнение , когда в нем функция представляет собой однородную функцию переменных и нулевой степени однородности и, следовательно, зависит от их отношения.

Функция называется однородной степени k, если удовлетворяет тождеству

при любом .

Полагая , получаем: или . Оба переменных равноправны; поэтому также .

Таким образом, рассматриваемые уравнения будут вида:

. (1)

Подстановкой мы добиваемся разделения переменных. Так как , то ; подставляя в уравнение (1), получаем:

,

или

(1.1)

предполагая, что и , разделяем переменные и интегрируем:

,

Обозначая через , получаем общий интеграл уравнения (1) в виде:

. (1.2)

Так как подстановка привела нас к уравнению с разделяющимися переменными, то, опираясь на теорему об этих уравнениях, можем утверждать, что если в некотором интервале ‑ непрерывна [а для этого достаточно непрерывности ] и не обращается в нуль, то в области , такой, что а<и<b, , уравнение (1.1) имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах, и через каждую точку области G проходит единственная интегральная кривая. Это же справедливо и для данного уравнения (10), из которого уравнение (1.1) получено подстановкой!. При этом область ( , или ах<у<bх, ), представляет внутреннюю часть двух вертикальных углов, ограниченных прямыми у=ах и у=bх, причем берутся те два угла, которые не содержат оси Oy, ибо .

Таким образом, является справедливой следующая теорема.

Теорема. Однородное дифференциальное уравнение при условии, что непрерывна и в интервале , имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах. При этом через каждую точку области , лежащей внутри вертикальных углов, ограниченных прямыми у=ах и у=bх и. не содержащей прямой , проходит единственная интегральная кривая.

В случае же, если найдутся такие значения и, при которых , каждому такому , будет отвечать решение , или , не вытекающее из общего интеграла.

Следует отметить, что в том случае, когда , дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными; для этого уравнения; как и вообще для уравнения (1) начало координат является особой точкой.

Уравнение в симметрическом виде

(2)

является однородным, когда ‑ однородные функции одной и той же степени однородности:

, .

В этом случае подстановка , приводит к разделению переменных.

Интегрируемыми в квадратурах будут приводящиеся к однородным (или непосредственно к уравнениям с разделяющимися переменными) уравнения вида:

. (12)

Действительно, если определитель , то мы сумеем найти такие и , что подстановка и превратит это уравнение в однородное. Для этого нужно выбрать и так, чтобы

а это возможно, если . Выполняя подстановку, получим:

.

Это уравнение однородно, ибо .

В случае, если определитель , элементы его строк пропорциональны: . Тогда, применяя подстановку , получаем: . Таким образом, приходим к уравнению с разделяющимися переменными;

.