§ 5. Уравнения, не разрешенные относительно производной

Рассмотренные выше типы уравнений, интегрировавшихся в квадратурах, были уравнениями, разрешенными относительно производной. К уравнениям. не разрешенным относительно производной, в некоторых случаях оказывается применим метод введения параметра. Идея метода заключается в том, что в данном дифференциальном уравнении производная рассматривается как параметр ( ) и уравнение приобретает вид , и из данного уравнения выводится другое, с ним совместное (и содержащее произвольную постоянную): . Исключение параметра р из системы:

, (1)

приводит к общему интегралу данного уравнения . Если исключить р из системы (1) фактически не удается, то может оказаться возможным, исключая из (1) поочередно у и х, получить решение в параметрической форме:

(2)

Само получение из уравнения второго уравнения системы (1) производится путем его дифференцирования и последующего интегрирования. Однако в общем случае дифференцирование уравнения по х (или по у) приводит к соотношению между тремя переменными х, у, р и (или ), которое не интегрируется.

В том случае, когда данное дифференциальное уравнение может быть разрешено относительно х или относительно y, дифференцирование приведет к соотношению между переменными х, р и (или переменными у, р и ) т. е. к дифференциальному уравнению 1-го порядка, и притом разрешенному относительно производной. Так как переменные эти рассматриваются как равноправные, то достаточно ограничиться исследованием одного из этих случаев. В дальнейшем рассмотрим уравнения, разрешенные относительно функции:

. (3)

Согласно сказанному выше полагаем , так что данное уравнение перепишется в виде:

. (4)

Дифференцируя данное уравнение по х [функция , таким образом, предполагается дифференцируемой] и замечая, что , получаем:

. (5)

Отсюда

. (6)

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением 1-го порядка с переменными х и р. Предполагая, что уравнение (6) интегрируется в квадратурах, находим его интеграл в виде:

. (7)

Исключение р из (4) и (7) приводит нас к общему интегралу данного уравнения (3). При этом, если уравнение (7) разрешимо относительно р:

, (8)

то, подставляя выражение для р в (4), получаем общее решение:

; (9)

если же уравнение (7) окажется разрешимым относительно х:

, (10)

то, подставляя значение х в (4), получаем: , что вместе с (10) дает общий интеграл данного уравнения в параметрической форме:

(11)

Замечание. В уравнении или нельзя рассматривать р как производную с тем, чтобы далее находить общее решение данного уравнения интегрированием уравнения , ибо это значило бы искать решение не данного уравнения, а уравнение (второго порядка!), которое получено из данного путем его дифференцирования и которое ему не равносильно. Так, уравнение имеет решение . Для уравнения же решением служит . После того как (путем дифференцирования, а затем интегрирования) получено уравнение , отыскание решения производится без квадратур, а путем исключения параметра. Таким образом, в момент дифференцирования уравнения p еще не параметр, а производная и, следовательно, функция от х, и полученное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением этой функции р. Но после того как это дифференциальное уравнение проинтегрировано, для р получено конечное уравнение , и рассматривается система, в которой р подлежит исключению: с этого момента р считается параметром.