Уравнение Лагранжа

Возможность интегрирования в квадратурах указанным выше способом зависит от того, будет ли уравнение (6), полученное из данного путем дифференцирования, интегрироваться в квадратурах или нет.

Уравнением, для которого такое интегрирование оказывается всегда возможным, является уравнение Лагранжа:

. (12)

Действительно, заменяя у' через р:

(13)

и дифференцируя (предполагается, таким образом, что и ‑ функции дифференцируемые), получаем:

. (14)

Предполагая, что тождественно (т. е. не есть просто р), разрешаем (14) относительно :

(15)

Полученное уравнение (15) является линейным (относительно х и ) и, следовательно, имеет решение в квадратурах вида:

. (16)

Подставляя (16) в (13), мы выразим у через р и С:

,

что вместе с (16) даст нам общий интеграл уравнения Лагранжа (в квадратурах) в параметрической форме:

(17)

В случае, если из уравнений (17) параметр р можно исключить, получаем общий интеграл в обычном виде:

F(x, у, С)=0.

Кроме общего интеграла (17), у уравнения могут быть еще решения, не получаемые из общего. А именно, если ‑ обращается в нуль при , то, исключая р из условия и уравнения (13), получаем решение:

, (18)

не вытекающее из общего.

Уравнение Клеро

Рассмотренное уравнение Лагранжа могло быть проинтегрировано указанным выше способом при условии, что тождественно. Случай требует отдельного исследования. При этом предположении уравнение (12) принимает вид:

(19)

и называется уравнением Клеро. Применяя метод введения параметра и дифференцирования, получаем:

(20)

,

откуда

. (21)

Выведенное уравнение (21) будет удовлетворяться, когда:

1) или 2) .

Из первого условия, интегрируя, находим, что р=С. Подставляя найденное значение р в (20), получаем общее решение:

(22)

Сравнивая этот результат с исходным у равнением (19), видим, что общее решение уравнения Клеро получается просто заменой в уравнении производной у' произвольной постоянной С.

Из условия совместно с уравнением (20) находим решение в параметрической форме:

(23)

Что уравнения (23) действительно определяют решение данного уравнения (19), убеждаемся, подставив значения из (23) в (19), предварительно найдя производную :

,

Следует заметить, что проведенное вычисление предполагает, что функция дважды дифференцируема, и является неприменимым в случае, когда . В этом случае представляет собой линейную функцию от р : , а уравнения (23) превращаются в

и, следовательно, не определяют решения ‑ интегральной кривой, а определяют точку. Точка эта является особой точкой дифференциального уравнения, она служит центром пучка прямых:

.

в который в рассматриваемом случае превращается общее решение (22). Во всех остальных случаях, когда , уравнения (23) определяют решение, и притом не получаемое из общего. Это следует из того, что решения (22) при любом значении С ‑ линейные функции, решение же (23) таковой функцией не является, ибо .

Покажем, что решение (23), не вытекающее из общего, является особым решением. Решение (23) получено нами путем совместного рассмотрения уравнений (и последующего исключения параметра р, если это возможно):

(24)

Но этот же результат достигается путем исключения параметра С из уравнений:

(25)

первое из которых представляет совокупность интегральных кривых, изображающих общее решение уравнения Клеро, а второе из него получается дифференцированием по параметру С. Как известно из дифференциальной геометрии, в этом случае система уравнений (25) представляет огибающую семейства интегральных кривых. Но огибающая интегральных кривых является особым решением дифференциального уравнения.

Так как общее решение ‑ первой степени, то интегральные линии ‑ прямые. Следовательно, общее решение уравнения Клеро ‑ семейство прямых, а особое ‑ огибающая этого семейства.

Таким образом, интегральные кривые уравнения Клеро состоят из некоторой кривой и всех ее касательных. Это утверждение предполагает, что не является линейной функцией у'. Если же это так, то, как мы видели, интегральные кривые представляют собой пучок прямых; огибающей же, а следовательно, особого решения в этом случае нет.