
Лабораторная работа № 3
Изучение равноускоренного движения тел
на примере их свободного падения
в поле тяготения Земли
Цель работы: используя законы механики Ньютона, теоретически найти временную зависимость перемещения тела в поле тяготения Земли и экспериментально убедиться в справедливости полученных теоретических результатов.
Оборудование: установка, включающая штангу с закрепленными на ней электромагнитом и двумя фотодатчиками, стальной шарик, электронный миллисекундомер и миллиметровую линейку.
Продолжительность работы- 4 часа.
Теоретическая часть. Описание установки
Рассмотрим свободное
падение тела массы
в поле тяготения Земли вблизи ее
поверхности. В этом случае в системе
отсчета, связанной с Землей, на тело
действует сила тяжести
,
которая включает силу тяготения
,
обусловленную гравитационным
взаимодействием тела с Землей, и
центробежную силу инерции
,
вызванную суточным вращением Земли,
т.е.
(рис.1). Следует отметить, что на тело,
кроме указанных сил, действуют и другие
силы, например, связанные с взаимодействием
тела с Солнцем, Луной и другими космическими
объектами, а также силы инерции, такие
как сила инерции Кориолиса, зависящая
от движения тела во вращающейся системе
отсчета, и силы инерции, обусловленные
вращением Земли вокруг Солнца. Однако
в нашем случае эти силы по модулю
значительно меньше сил
и
и поэтому не учитываются.
Рис.1. Силы,
действующие на тело, в системе
отсчета,
связанной с Землей
В соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона силу притяжения можно записать в виде
(1)
где
- гравитационная
постоянная;
-
масса Земли;
- радиус Земли;
- высота;
- единичный
вектор (
),
направленный к центру массы Земли.
Выражение для центробежной силы инерции имеет вид:
,
(2)
где- угловая
скорость вращения Земли;
- радиус-вектор,
определяющий положение тела относительно
оси вращения Земли.
В связи с малостью
численного значения скорости вращения
Земли ()
центробежная сила инерции по модулю
гораздо меньше силы притяжения (
)
и в нулевом приближении ею можно
пренебречь. Тогда можно считать, что
сила тяжести приблизительно равна силе
притяжения (
).
Тот факт, что при решении нашей задачи
можно не учитывать действие силы инерции,
дает возможность считать систему
отсчета, связанную с Землей, инерциальной.
Это позволяет для описания движения
использовать законы Ньютона.
Запишем в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение движения тела:
,
(3)
где
- ускорение
тела.
Из (3) следует, что
. (4)
Будем рассматривать
случай, когда тело находится на высоте
над поверхностью Земли, много меньшей
радиуса Земли (
).
Тогда (4) приближенно можно записать в
виде
.
(5)
Величину
обычно обозначают
и называют ускорением свободного
падения,
.
(6)
Анализ соотношений
(5) и (6) показывает, что ускорение, с
которым будет двигаться тело в поле
тяготения Земли, равно ускорению
свободного падения, а именно,
.
Известно, что при равноускоренном движении модуль вектора ускорения и его направление в пространстве не должны изменяться в процессе движения. В нашем случае, строго говоря, это может иметь место только при движении тела вдоль радиальной прямой, проходящей через центр массы Земли.
Из (5) и (6) с учетом,
что
,
где
- скорость
и
- время,
непосредственно следует
.
(7)
0
0
а
б
Рис.2. Схематическое
изображение положения тела и его
скорости в начальный момент времени и
в момент времени t
(а)
и перемещение тела (б)
Проинтегрировав
(7) с начальным условием
(рис.2,а), получим:
.
(8)
Приняв во внимание,
что
,
где
- элементарное
перемещение, уравнение (8) преобразуем
к виду
.
(9)
Проинтегрировав
(9) с учетом начального условия
(рис.2,б), будем иметь:
,
(10)
где
и
- векторы, характеризующие положение
тела в начальный момент времени и в
момент времени
.
Разность векторов
называется перемещением тела за время
,
которое в соответствии с (10) можно
записать следующим образом:
.
(11)
Векторы
,
и
направлены вдоль оси
.
Следовательно, движение тела будет
одномерным. В этом случае, спроектировав
перемещение тела (11) на ось
,
получим:
.
(12)
Отношение перемещения
к промежутку времени
,
за который произошло это перемещение,
определяет среднюю скорость тела:
.
(13)
Анализ выражения (13) показывает, что средняя скорость линейно зависит от времени перемещения тела, причем удвоенное значение углового коэффициента прямой равно ускорению свободного падения, а значение свободного члена равно начальной скорости. Этот результат теоретического исследования может быть положен в основу экспериментального определения значений данных физических величин.
Механическая часть установки для экспериментального изучения движения тел в поле тяготения Земли схематично представлена на рис.3. Она состоит из массивного штатива 1, на котором с помощью кронштейнов крепятся электромагнит 3 и два фотодатчика 5. Электромагнит предназначен для удержания стального шарика 4, параметры движения которого при его свободном падении изучаются в данной работе. Для тонкой регулировки положения электромагнита, а следовательно и шарика, относительно верхнего фотодатчика служит винт 2. Кронштейны с фотодатчиками могут перемещаться по штанге штатива. Фиксация положения кронштейнов осуществляется винтами 6.
Измерение времени проводится с помощью электронного миллисекундомера, соединенного с двумя фотодатчиками и магнитом. При нажатии кнопки ″Пуск″ на передней панели миллисекундомера ток в цепи
электромагнита прерывается и шарик перестает удерживаться электромагнитом. При падении шарик пересекает лучи света, направленные на фотодатчики, при этом верхний фотодатчик включает миллисекундомер, а нижний фотодатчик его выключает. Таким образом измеряется время пролета шарика между фотодатчиками. Подготовка миллисекундомера к очередному измерению происходит при нажатии кнопки ″Сброс″.