Глава 5. Пересечение поверхностей плоскостями. Развертки Пересечение многогранника с плоскостью
Пересекать тела и поверхности будем проецирующими плоскостями. Начнем с построения линии пересечения многогранника с плоскостью.
а б
Рис.5.1.
Рассмотрим решение этой задачи на примере построения усеченной пирамиды, верхнее основание которой представлено фронтально-проецирующей плоскостью (рис.5.1,а). Отметив фронтальные проекции точек пересечения реберD2, F2 ,E2пирамиды с плоскостью, нетрудно найти горизонтальные проекции этих точекD1, F1, E1с помощью линий связей, проведенных до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих ребер. Так точкаD1, находится на горизонтальной проекции ребраA1S1, F1– на проекции ребраB1S1иE1– на проекции ребраC1S1(рис.5.1,б). Соединив горизонтальные проекции точек пересечения ребер с верхним основанием пирамиды, получим его горизонтальную проекциюD1F1E1. На виде сверху ребраD1A1,F1B1иE1C1– видны, обведем их основной контурной линией. Построение линии пересечения поверхностей плоскостями обычно является предварительной операцией для выполнения разверток.
Свойства разверток. Метод вращения
Развертки выполняются в качестве заготовок при изготовлении изделий из листового материала. Развертывающейсяназывают поверхность, которая может быть развернута и совмещена с плоскостью без разрывов и складок. На развертке сохраняются натуральными длины линий, площади фигур, углы между линиями (развертка обладает свойствомконформности-– геометрического преобразования фигур, при котором сохраняются углы).
Метод вращения
Для определения действительных величин отрезков, необходимых для построения разверток (например, ребер SAиSBпирамиды, представленных на рис.5.1) применяют метод вращения геометрической фигуры вокруг оси. Пусть отрезокASна рис.5.2,апересекается с осью вращенияiв точкеS. Вращаясь, он описывает коническую поверхность, на рис.5.2,аона для наглядности пересечена фронтальной плоскостью. Войдя в эту плоскость (справа или слева), отрезок становится фронтальным и проецируется в действительную величину на плоскостьП2. В ортогональных проекциях поворот отрезкаASвокруг оси показан на рис.5.2,б. Горизонтальная проекцияi1совпадает с проекциейS1. Повернем отрезок до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций (вправо или влево). ПроекцияS1, совпадающая с осьюi1, неподвижна. ТочкаАвращается вокруг оси; горизонтальная проекция ее движения – окружность, по которой перемещается точкаА1до положенияА1*, при которомS1A1*займет положение, перпендикулярное линиям связи (параллельное плоскостиП2).
а б
Рис.5.2.
Фронтальная проекция А2движется по прямой, перпендикулярной проекцииi2 (перемещается в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекцииП1). Проведя из точкиА1* линию связи, находим на этой прямой проекциюА2*.ОтрезокА2*S2 дает действительную величину отрезкаAS. ТочкаD1на отрезке тоже описывает траекторию (окружность), фронтальная проекция которой – прямаяD2D2*, перпендикулярнаяi2 (горизонтальную проекцию траектории можно не чертить, находя действительное положение любой точки на отрезке).
Повернув чертеж на 90 и 180(изменив индексы), можно получить представление о вращении точки и отрезка вокруг оси, перпендикулярной профильной или фронтальной плоскости проекций. Чтобы повернуть вокруг оси какую-либо фигуру или предмет, поварачивают на заданный угол ее отдельные точки.