Пересечение поверхностей вращения плоскостями. Развертки

Плоскость пересекается:

• с цилиндромвращения поокружности, эллипсу илипрямымсоответственно при положении1,2,3 секущей плоскости (рис.5.3,а);

• с конусом(рис.5.3,б,в):

• по окружности, если плоскость (1) перпендикулярна оси вращения;

• по эллипсу, если плоскость (2) пересекает все образующие и не перпендикулярна оси;

а б в

Рис.5.3.

• по параболе, если плоскость (3) параллельна одной образующей;

• по двум прямым, если плоскость (4) проходит через вершину конуса;

• по гиперболе, если плоскость (5) параллельна двум образующим (в частности (6), параллельна оси);

• со сферой по окружности.

Пересечение плоскости с цилиндром

Рассмотрим пересечение цилиндра вращения с плоскостью по эллипсу (рис.5.4).

На рисунке дан усеченныйцилиндр, верхнее основание которого представлено фронтально-проецирующей (перпендикулярной фронтальной плоскости проекцийП₂) плоскостью – прямой линиейА₂В₂, которая является одновременно фронтальной проекцией линии пересечения.

Рис.5.4.

Так как цилиндр проецирующий, то горизонтальная проекция линии пересечения есть окружность, совпадающая с проекцией цилиндра (все, что находится на поверхности цилиндра, проецируется на его горизонтальную проекцию, в том числе и линия пересечения). Отметим проекции А₃ , В₃ , С₃ , D₃опорных точекA, B, C, D, лежащих на контурных образующих цилиндра.Чтобы получить проекции промежуточных точек, зададимся фронтальными проекциями, например точекM, N. Отметив их горизонтальные проекцииM₁, N₁, лежащие на проекции линии пересечения –  окружности, строим профильные проекцииM₃ ,N₃ по координатамy_Mиy_N. Профильная проекция кривой – эллипс с осямиА₃В₃иC₃D₃. Кривая симметрична относительно осей эллипса, поэтому можно построить точкиM₃*, N₃*, симметричные точкамM₃, N₃ и использовать их при проведении кривой.

Развертка цилиндра

Полный цилиндр(рис.5.5) развертывается в прямоугольник: если основание цилиндра – окружность, то длину основания развертки подсчитывают по формулеd; если основание цилиндра не окружность или цилиндр усеченный, задают большое количество (до 24, в учебных условиях до 12) образующих и откладывают на развертке длины хордО1=О₁1₁; 12 –1₁2₁…;длиной развертки будет сумма длин этих хорд. При построенииусеченного цилиндра на каждую образующую развертки переносят точку с проекции, напримерN₂дает точкуN. Полученные точки соединяют плавной кривой.

Рис.5.5.

На рис.5.5. представлена развертка боковой поверхности цилиндра без верхнего и нижнего оснований.

Пересечение плоскости с конусом

На рис.5.6. дан усеченный конус, полученный пересечением конуса вращения с фронтально-проецирующей плоскостью .Опорные точкиАиВлежат на образующих конуса, которые проецируются на плоскостьП₂ в виде крайних. ТочкиСиDнаходятся на образующих, которые проецируются в виде крайних на плоскостьП₃. Отмечаем их проекции.

Определим промежуточные точки EиF. Зададимся их проекциейЕ₂F₂(пустьЕ₂F₂лежит на середине отрезкаА₂В₂) и проведем на конусе окружность так, чтобы ее фронтальная проекция – прямая линия1₂1₂*прошла черезЕ₂F₂. Чертим горизонтальную проекцию этой окружности (окружность диаметра1₁ –1₁*) и находим на ней с помощью линий связи проекцииE₁иF₁ точек.

Рис.5.6.

Профильные проекции E₃иF₃ находим с помощью координат y. Линия пересечения конуса с плоскостью в данном случае – эллипс, большая ось которого –АВ; малая ось эллипса проходит через середину большой осиАВ и ей перпендикулярна, следовательно, концами ее являются точкиEиF, которые были определены ранее.

Промежуточные точки можно построить с помощью окружностей (как точки EиF) или с помощью прямых образующих, проходящих через вершину конусаS(например точкиМиN, задаваясь проекциямиМ₂N₂).