ИДЗ 8.2 Рябушко пример решения
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Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 8.2 – Вариант 0
Найти неопределенные интегралы.
1.0 2x 3 dx
5x 2 4
Представим интеграл в следующем виде
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2x 3 |
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dx |
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2x |
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dx |
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3 |
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dx |
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5x |
2 |
4 |
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5x |
2 |
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4 |
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5x |
2 |
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4 |
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Первый интеграл |
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2x |
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dx |
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5x 2 4 t |
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2 |
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1 |
dt |
1 |
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dt |
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1 |
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nt C |
1 |
n |
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5x |
2 |
4 |
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C |
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2 |
4 |
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dt 10xdx |
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5x |
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10 |
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|
t |
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5 |
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|
t |
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5 |
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5 |
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Второй интеграл, табличный: |
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Применима формула: |
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dx |
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1 |
arctg |
x |
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C |
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2 |
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2 |
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a |
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x |
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a |
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a |
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|||||||
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3 |
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dx |
3 |
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dx |
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dx |
3 |
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arctg |
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5x |
C |
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5x 2 |
4 |
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2 22 |
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2 |
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2 |
|
5 |
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5x |
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Тогда общее решение интеграла: |
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2x 3 |
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dx |
1 |
n |
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5x 2 4 |
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3 |
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arctg |
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5x |
C |
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5x 2 |
4 |
5 |
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2 |
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2 |
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5 |
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2.0 |
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e |
4x |
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dx |
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|||||||||
e |
4x |
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9 |
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Сделаем замену e4x |
9 t , |
отсюда dt 4e4x dx , dx |
1 |
dt |
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4e |
4x |
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Также применима формула: |
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dx |
ln x C |
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x |
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Получаем: |
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e4x |
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1 |
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dt |
1 |
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dx |
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ln t C |
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e4x 9 |
4 |
|
|
|
t |
4 |
|
|
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Возвратившись к старой переменной, имеем |
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|
|
e4x |
|
dx |
|
1 |
ln |
|
e4x 9 |
|
C |
|
|
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||||||||||||||
|
|
|
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e4x 9 |
|
4 |
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3.0x5 2x dx
x2 1
Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель, выделим целую часть неправильной дроби, стоящей под знаком интеграла. Получим интеграл от алгебраической суммы:
x 5 2x |
|
x 2 |
1 |
|
|||
x 5 x 3 |
|
x 3 |
x |
x 3 2x
x 3 x
x
Тогда запишем
|
x5 |
2x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
dx x |
|
x |
x |
2 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
x |
dx |
|
|
||
x 2 |
|
|
1 |
Представим интеграл в следующем виде
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x5 |
2x |
dx |
x3dx xdx |
|
x |
dx |
||||||
x |
2 |
1 |
x |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|||||
Первый интеграл |
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x3dx |
x3 1 |
|
C |
x 4 |
C |
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||||
3 1 |
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|
|
|
||||||||
|
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|
|
4 |
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Второй интеграл, табличный:
xdx x1 1 C x 2 C
11 2
Третий интеграл
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x |
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dx |
x 2 1 t |
|
1 |
|
|
1 |
dt |
1 |
|
nt C |
1 |
|
|
1 |
|
C |
|
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|
|
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|||||||||||||||||
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n |
x 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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x |
1 |
dt 2xdx |
|
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2 |
|
|
t |
2 |
|
2 |
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
Тогда общее решение интеграла: |
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x5 2x |
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x 4 |
x 2 |
1 |
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2 1 |
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|||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
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dx |
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|
n |
x |
C |
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|
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|||||||||||||||||||
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x 2 1 |
4 |
2 |
2 |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||
4.0 |
cos3 3x 5 dx |
|
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||||||||||||
cos3 3x 5 dx cos 2 3x 5 cos 3x 5 dx |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
Используя тригонометрическое тождество |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
cos 2 3x 5 1 sin 2 3x 5 |
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Получаем: |
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||||||||
cos3 3x 5 dx 1 sin 2 3x 5 cos 3x 5 dx |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
Сделаем замену sin 3x |
5 t , |
отсюда dt 3cos 3x 5 dx , dx |
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1 |
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|
dt |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3cos 3x 5 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получаем: |
|
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||||||||
cos |
3 |
3x 5 dx 1 sin |
2 |
3x 5 cos 3x 5 dx |
1 |
|
1 t |
2 |
dt |
1 |
|
t 2 1 |
|
|
|
1 |
|
t 3 |
|
1 |
|
|
t 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
C |
|
|
t |
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
t |
2 1 |
|
3 |
t |
3 |
|
3 |
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||
Возвратившись к старой переменной, имеем |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
cos3 3x 5 dx |
1 |
sin 3x 5 |
sin 3 3x 5 |
C |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
5.0 ctg3 4xdx
Так как согласно тригонометрическому тождеству
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Вынесем 3 за скобку |
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3 x 2 |
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Разложим знаменатель интеграла в квадрат разности: |
x 2 8x 17 x 2 |
2 4x 17 16 16 x 4 2 1 |
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Табличная формула интегрирования |
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3x |
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x |
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x 4 |
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Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
8.0 |
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3 4x x 2 |
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x 2 4x 4 4 3 7 x 2 2 |
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Разложим знаменатель интеграла в квадрат суммы: 3 4x x 2 |
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Табличная формула интегрирования |
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arcsin |
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C |
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Подставляем, получаем: |
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2x 7 |
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Разложим знаменатель интеграла в квадрат суммы: |
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x 2 4x 6 x 2 |
4x 6 4 4 x 2 2 2 |
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Применима формула: Табличная формула интегрирования |
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dx |
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1 |
x |
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arctg |
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C |
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a |
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x |
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a |
a |
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Получаем: |
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2x 7 |
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dx |
2x 7 4 4 |
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2x 4 |
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dx |
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3 |
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dx |
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dx |
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x |
2 |
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4x 6 |
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x |
2 |
4x 6 |
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x |
2 |
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4x |
6 |
x |
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2 |
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2 |
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2 |
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Решим первый интеграл |
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2x 4 |
dx |
x 2 4x 6 t |
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dt |
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n t C n |
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x 2 4x 6 |
|
C |
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x 2 4x 6 |
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dt 2x 4 dx |
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t |
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Решим второй интеграл |
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arctg x |
2 C |
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3 |
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dx 3 |
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1 |
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dx |
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3 |
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2 |
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2 |
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2 |
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x 2 2 |
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x 2 |
2 |
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2 |
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В итоге решение интеграла: |
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arctg x |
2 C |
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2x 7 |
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3 |
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dx n |
x 2 |
4x 6 |
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x 2 |
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4x 6 |
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2 |
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2 |
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x3
10.03 4x x 2 dx
Представим данный интеграл в виде суммы двух интегралов, предварительно выделив в числителе подынтегральной функции слагаемое, равное производной подкоренного выражения из знаменателя:
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x 3 |
1 |
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2x 6 4 4 |
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1 |
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4 2x |
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1 |
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2dx |
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dx |
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dx |
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dx |
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2 |
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|
2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||
3 4x x 2 |
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3 4x x 2 |
3 4x x 2 |
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3 4x x 2 |
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Решим первый интеграл |
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1 |
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|
1 |
1 |
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||||
|
1 |
|
|
|
|
4 2x |
|
|
|
|
|
3 4x x 2 t |
|
1 |
|
|
|
dt |
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
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1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2 dt |
|
|
|
|
C t C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
|
dt 4 2x dx |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
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|
|
3 4x x 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
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|
2 |
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|
1 |
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|
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||||||||||||||||||||||
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2 |
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|||||||
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||||||||||
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|
3 4x x 2 C |
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Решим второй интеграл |
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|||||||||||||||
Применима формула: Табличная формула интегрирования |
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dx |
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|
arcsin |
x |
C |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a 2 |
x 2 |
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
Разложим знаменатель интеграла в квадрат суммы:
3 4x x 2 x 2 4x 4 3 4 7 x 2 2
Тогда
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
x 2 |
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|||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||
|
|
7 x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
2 x 2 2 |
|
arcsin |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
||||||
|
|
|
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7 |
Тогда общее решение интеграла: |
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x 3 |
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|
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x 2 |
|
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|
3 4x x 2 |
||||||||
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|
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|
||||||
|
|
|
|
dx |
arcsin |
|
|
|
C |
|
|
|
3 4x x 2 |
|
|
|
7 |
|