ИДЗ 8.3 Рябушко пример решения

sin t

x

,

t

arcsin

x

4

4

Получаем:

16 x 2 dx 16 16sin 2

t 4cos tdt 16

1 sin 2 t cos tdt 16 cos t cos tdt 16 cos 2 tdt

Согласно тригонометрическому тождеству

cos 2 t

1 cos 2t

2

dx 16

1 cos 2t

dt 8 1 cos 2t dt 8t

8

sin 2t C 8t 4sin 2t C 8t 8sin t cos t C

16 x 2

2

2

8t 8sin t 1 sin 2 t C

Вернемся к старой замене

dx 8arcsin

x

2x

1

1

x 2 C 8arcsin

x

2x

C 8arcsin

x

x

16 x 2

16 x 2

16 x 2

C

4

16

4

4

4

2

2.0

dx

x

x 2 5x

1

Сделаем замену x

1

, t

1

отсюда dx

dt

t

x

t 2

Получаем:

dt

dx

t 2

dt

dt

dt

x x 2 5x 1

1

1

5

t 2

5t 1

1

t 2 5t 1

2

1

t

t

t

t

5t

1

t

t 2

t

t 2

Разложим знаменатель в квадрат разности:

2

2

5

25

25

5

2

21

t

5t

1 t

2

t

1

t

2

4

4

2

4

Применима формула: Табличная формула интегрирования

dx

1

ln

ax a

2 x 2

b2

C

a

a 2 x 2 b2

dx

dt

dt

5

5

2

21

n

t

t

C

x x 2 5x 1

t 2 5t 1

5

2

21

2

2

4

t

2

4

1 5x x 2

1 5x x 2

dx

n

1

5

1

5

1

C n

1

5

C n

1

5

C

2

x

2

x

x x 2 5x

1

x

x

x 2

x 2

x 2

Пусть u x 7 , тогда dv sin 5xdx , du dx , v

1

cos 5x

5

Имеем:

x 7 sin 5xdx

1

x 7 cos 5x

1

cos 5xdx

1

x 7 cos 5x

1

cos 5xdx

5

5

5

5

1

x 7 cos 5x

1

1

sin 5x C

1

x 7 cos 5x

1

sin 5x C

5

5

5

5

25

dx

x

Пусть u arctgx , тогда du

, dv

dx , v 1

x 2

1 x 2

1 x 2

Имеем:

xarctgx

1 x 2

dx

dx arctgx 1 x 2

1 x 2

dx arctgx

1 x

2

1 x 2

1

x 2

arctgx

1 x 2 n

x 1 x 2

C

Пусть u arccos 4x , тогда dv dx , du

4

dx , v x

1 16x 2

Имеем:

arccos 4xdx x arccos 4x

4xdx

x arccos 4x

4xdx

1 16x 2

1 16x 2

Решим интеграл:

1