ИДЗ 8.4 Рябушко пример решения
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Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 8.4 – Вариант 0
Найти неопределенные интегралы.
|
|
4x 5 |
|
|
1.0 |
x 1 x 2 5x 6 dx |
P(x) |
|
|
|
Для интегрирования рациональной функции |
, где P(x) и Q(x) - полиномы, используется |
||
|
Q(x) |
|||
|
|
|
|
следующая последовательность шагов:
Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x) ), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных
выражений; Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных
коэффициентов; Вычислить интегралы от простейших дробей.
Запишем интеграл и разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
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4x 5 |
4x 5 |
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
|
|
x 1 x 2 5x 6 dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
x 1 x 2 x 3 |
x 1 |
x 2 |
x |
3 |
где x 2 5x 6 x 2 x 3
Отсюда
4x 5 A x 2 x 3 B x 1 x 3 C x 2 x 1
Найдем значения коэффициентов A, B, С при x 1
1 12A
A 121
при x 2 13 3B
B133
при x 3 17 4C
C174
Подставляем в выражение (1), найденные значения коэффициентов А, В, С получаем интеграл:
|
4x 5 |
1 |
|
dx |
|
13 |
|
dx |
|
17 |
|
dx |
|
1 |
|
|
|
13 |
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|||||||||
x 1 x 2 5x 6 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x 1 |
|
|
|
n |
|
x 2 |
|
|
|
n |
|
x 3 |
C |
||||
12 |
x 1 |
3 |
|
x 2 |
4 |
x 3 |
12 |
3 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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x5
2.0x 1 2 dx
Запишем интеграл и разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
|
x 5 |
dx |
A |
|
|
B |
|
(1) |
2 |
x 1 |
2 |
x 1 |
|||||
|
x 1 |
|
|
|
Отсюда
x 5 A B x 1
Найдем значения коэффициентов A, B при x 1
4 A
при x=0
5 A B
5 4 B
B 1
Подставляем в выражение (1), найденные значения коэффициентов А, В получаем интеграл:
|
x 5 |
dx |
4 |
|
dx |
1 |
|
|
x 1 2 1 |
|
|
x 1 1 |
|
|
|
|||||
|
|
dx 4 |
n |
x 1 |
C 4 |
n |
x 1 |
C |
||||||||||||
2 |
x 1 |
2 |
x 1 |
2 1 |
1 |
|||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x |
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
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3.0 |
x 2 3x 1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x x 1 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 2 3x 1 dx A |
|
B |
|
C |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||
x x 1 x 3 |
x |
x 1 |
x |
3 |
Отсюда
x 2 3x 1 A x 1 x 3 Bx x 3 Cx x 1
Найдем значения коэффициентов A, B, С при x 0
1 3A
A 13
при x 1 5 4B
B 54
при x 3 1 12C
C 121
Подставляем в выражение (1), найденные значения коэффициентов А, В, С получаем интеграл: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 3x 1 dx |
|
1 |
|
|
dx 5 |
|
dx |
|
1 dx |
|
1 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
n |
x 1 |
|
|
ln |
|
x 3 |
C |
|
x x 1 x 3 |
3 |
x |
4 |
x 1 |
12 |
x 3 |
3 |
4 |
12 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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2x 2 x 1 4.0 x 1 2 x 1 dx
Запишем интеграл и разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: |
|||||||||||
|
2x 2 |
x 1 |
dx |
A |
|
B |
|
|
C |
|
(1) |
|
2 |
2 |
x 1 |
x 1 |
|||||||
|
x 1 x 1 |
x 1 |
|
|
|
Отсюда
2x 2 x 1 A x 1 B x 1 x 1 C x 1 2
Найдем значения коэффициентов A, B, С при x 1
0 4C
C 0
при x=1 2 2A
A 1
при x=0
1 A B C
1 1 B 2 02 B
B 2
Подставляем в выражение (1), найденные значения коэффициентов А, В, С получаем интеграл: |
||||||||||||||||||||
|
|
2x 2 x 1 |
|
|
|
dx |
|
|
dx |
0 |
|
dx |
|
dx |
||||||
|
|
|
|
dx 1 |
|
|
2 |
|
dx |
|
dx |
|
2 |
|
dx |
|||||
x 1 2 x 1 |
x 1 2 |
x 1 |
x 1 |
x 1 2 |
x 1 |
|||||||||||||||
|
|
x 1 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 n |
x 1 |
C |
|
2 n |
x 1 |
C |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.0 |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда dx 2tdt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Сделаем замену |
|
x t , x t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
Получаем: |
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t tdt |
|
|
|
|
t 2dt |
|
|
|
|
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
t 2 1 |
2 |
t 2 1 |
|
2 |
|
1 |
|
t 2 |
|
dt |
x 2 a 2 |
|
|
arctg |
|
C |
|
2t |
2arctgt |
C |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Возвратившись к старой переменной, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
x 2arctg |
|
x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x1dx
6.03x 1 36x 1dx
Сделаем замену 6x 1 t , 3x 1 t 2 x 1 t3 x t 6 1 отсюда dx 6t 5dt , Получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6t 3 t 5dt |
|
t8dt |
|
|
t 7 dt |
||||
|
|
|
|
x 1dx |
|
dx |
6 |
6 |
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
2 |
3t |
t t 3 |
t 3 |
|||||||
x 1 |
|
t |
|||||||||||||||||
|
|
|
3 x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
По теореме Безу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t 7 |
|
|
|
t 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
t 7 |
3t 6 |
t 6 3t 5 9t 4 |
27t 3 |
81t 2 243t 729 |
|
3t 6
3t 6 9t 5
9t 5
9t 5 27t 4
27t 4
27t 4 81t 3
81t 3
81t 3 243t 2
243t 2
243t 2 729t
729t
729t 2187
2187
Решаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1dx |
|
6 |
|
5 |
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
|
2187 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 t |
|
3t |
|
9t |
|
27t |
|
81t |
|
243t |
729 |
t 3 |
dt |
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 t 6 dt 18 t 5dt 54 t 4 dt 162 t 3dt 486 t 2 dt 1458 tdt 4374 dt 13122 |
dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t 6 1 |
|
|
t 5 1 |
|
|
|
|
t 4 1 |
t 3 1 |
|
|
t 2 1 |
t1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
162 |
|
|
|
|
486 |
|
|
|
|
|
1458 |
|
|
|
|
4374t 13122 n |
|
t 3 |
C |
Возвратившись к |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 1 |
5 1 |
|
|
|
|
4 1 |
3 1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t 7 |
|
|
|
t 6 |
|
|
|
|
|
|
|
t 5 |
|
|
|
|
|
t 4 |
|
|
|
|
|
t 3 |
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6 |
18 |
|
|
|
54 |
|
162 |
486 |
1458 |
|
|
4374t 13122 n |
t 3 |
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
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||||||||||||||||||||
|
6t 7 |
|
3t 6 |
54t 5 |
|
|
|
81t 4 |
|
162t 3 |
729t 2 4374t 13122 n |
|
t 3 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
старой переменной, имеем |
|
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Возвращаемся к замене z tgx , тогда |
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cos 2 |
x 2sin x cos x 3sin 2 x |
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Наш сайт: Fizmathim.ru
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Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
9.0 |
sin 2 xdx |
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sin 2n xdx |
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sin 2n x sin 2 x cos 2 x m n 1 dx |
, где n, m – целые неотрицательные числа |
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cos 2m x |
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cos 2m x |
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Решаем интеграл |
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sin 2 |
xdx |
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sin 2 x sin 2 |
x cos 2 x 2 |
dx |
sin 2 x sin 4 |
x 2sin 2 |
x cos 2 x cos 4 |
x |
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8 |
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sin 6 x 2sin 4 |
x cos 2 x sin 2 x cos 4 x |
dx |
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sin 6 x |
dx 2 |
sin 4 x |
dx |
sin 2 x |
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dx |
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6 |
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4 |
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Согласно тригонометрическому тождеству: |
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sin x |
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tgx , тогда запишем интегралы |
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cos x |
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xdx |
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tg6 x |
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dx |
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tg4 x |
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tg2 x |
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Воспользуемся заменой |
tgx t , |
dt |
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cos 2 x |
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Тогда |
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sin 2 |
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tg6 x |
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tg4 x |
dx |
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tg2 x |
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dx |
t 6dt 2 t 4dt |
t 2dt |
t 7 |
2 |
t 5 |
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t |
3 |
C |
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cos |
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x |
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Возвратившись к старой переменной: t tgx |
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sin 2 xdx tg7 x |
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2tg5 x tg3 x |
C |
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cos8 x |
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7 |
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