ИДЗ 5.2 Рябушко пример решения
.pdfНаш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 5.2 – Вариант 0
1. Доказать, что функции f(x) и φ(x) при x→0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.
|
|
1.0 f(x)=sin(x2−3x), |
|
φ(x)= x4−27x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x 2 3x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
4 |
27x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В числителе sin x ~ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin x 2 |
|
3x |
lim |
|
x 2 3x |
lim |
x x 3 |
lim |
|
x 3 |
lim |
x 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
4 |
|
27x |
|
|
x |
4 |
|
27x |
x x |
3 |
27 |
x |
3 |
27 |
x 3 x |
2 |
3x |
9 |
|||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 0 9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 0 |
|
|
3x 9 0 |
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как предел отличен от нуля lim |
|
|
|
|
0 |
в этом случае f(x) и φ(x) называются бесконечно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
малыми одного порядка малости.
2. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
e8x 1
2.0 lim |
|
|
sin 4x |
||
x 0 |
||
|
Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых. e x 1 ~ x
sin x ~ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e8x 1 |
|
0 |
|
8x |
|
8 |
|
||
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
2 |
sin 4x |
|
4x |
4 |
|||||||
x 0 |
|
0 |
x 0 |
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
3. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.
|
|
x 1, |
|
если x 0 |
|
2 |
1, |
если 0 x 3 |
|
3.0 f x x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
x 1, |
если x 3 |
||
|
|
|||
|
|
|
|
При исследовании функции, заданной несколькими аналитическими выражениями следует рассматривать граничные точки: т.е. точки перехода от одного вида функции к другой.
Точки разрыва x1 0, x 2 3
1) Находим пределы функции в указанных точках Для точки x1 0
lim x 1 1
x 0 0
lim x 2 1 1 |
||||
x 0 0 |
|
|
|
|
В точке x1 |
0 предел существует и равен −1. |
|||
В точке x1 |
0 функция непрерывна. |
|||
Для точки x 2 3 |
||||
lim x 2 1 32 |
1 8 |
|||
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x 1 |
3 1 2 |
|||
x 3 0 |
|
|
|
|
lim f x lim f x |
||||
x 3 0 |
x 3 0 |
Точка разрыва первого рода
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
4. Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках.
4.0 f x 6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3; |
|
|
|
4, |
|
|
2 |
|
|||||||||||
x 4 |
x |
1 |
x |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для точки x1 4 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim f x lim |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 6 3 3 |
|||||||||||||||
6 x 4 |
||||||||||||||||||||
x 4 0 |
|
x 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim f x lim |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 6 3 |
||||||||||||||||
6 x 4 |
||||||||||||||||||||
x 4 0 |
|
x 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т.е. в точке x1 4 |
функция f x терпит бесконечный разрыв ( x1 4 - точка разрыва второго рода). |
|||||||||||||||||||
Для точки x 2 |
2 имеем: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim f x lim 6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 4 |
|
3 6 6 |
3 6 2 |
3 2,45 3 5,45 |
|||||||||||||||
x 2 0 |
x 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim f x lim 6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 4 |
3 6 6 |
3 6 2 |
3 2,45 3 5,45 |
|||||||||||||||||
x 2 0 |
x 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
функция f x непрерывна. |
|||||||||||
Следовательно, в точке x 2 2 |