Добавил:
fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ИДЗ 5.2 Рябушко пример решения

.pdf
Скачиваний:
284
Добавлен:
20.02.2017
Размер:
233.24 Кб
Скачать

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 5.2 – Вариант 0

1. Доказать, что функции f(x) и φ(x) при x→0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.

 

 

1.0 f(x)=sin(x2−3x),

 

φ(x)= x4−27x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x 2 3x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

27x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В числителе sin x ~ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sin x 2

 

3x

lim

 

x 2 3x

lim

x x 3

lim

 

x 3

lim

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

27x

 

 

x

4

 

27x

x x

3

27

x

3

27

x 3 x

2

3x

9

x 0

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

x 0

 

 

x 0

 

x 0

 

 

lim

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3 0 9

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

3x 9 0

 

 

 

 

f x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как предел отличен от нуля lim

 

 

 

 

0

в этом случае f(x) и φ(x) называются бесконечно

x

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

малыми одного порядка малости.

2. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

e8x 1

2.0 lim

 

sin 4x

x 0

 

Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых. e x 1 ~ x

sin x ~ x

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e8x 1

 

0

 

8x

 

8

 

lim

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

2

sin 4x

 

4x

4

x 0

 

0

x 0

 

 

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

3. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.

 

 

x 1,

 

если x 0

 

2

1,

если 0 x 3

3.0 f x x

 

 

 

 

 

 

 

x 1,

если x 3

 

 

 

 

 

 

При исследовании функции, заданной несколькими аналитическими выражениями следует рассматривать граничные точки: т.е. точки перехода от одного вида функции к другой.

Точки разрыва x1 0, x 2 3

1) Находим пределы функции в указанных точках Для точки x1 0

lim x 1 1

x 0 0

lim x 2 1 1

x 0 0

 

 

 

В точке x1

0 предел существует и равен −1.

В точке x1

0 функция непрерывна.

Для точки x 2 3

lim x 2 1 32

1 8

x 3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

lim x 1

3 1 2

x 3 0

 

 

 

lim f x lim f x

x 3 0

x 3 0

Точка разрыва первого рода

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

4. Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках.

4.0 f x 6

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3;

 

 

 

4,

 

 

2

 

x 4

x

1

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для точки x1 4 имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f x lim

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 6 3 3

6 x 4

x 4 0

 

x 4 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f x lim

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 6 3

6 x 4

x 4 0

 

x 4 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.е. в точке x1 4

функция f x терпит бесконечный разрыв ( x1 4 - точка разрыва второго рода).

Для точки x 2

2 имеем:

 

 

 

 

 

lim f x lim 6

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

3 6 6

3 6 2

3 2,45 3 5,45

x 2 0

x 2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f x lim 6

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x 4

3 6 6

3 6 2

3 2,45 3 5,45

x 2 0

x 2 0

 

 

 

 

 

 

 

функция f x непрерывна.

Следовательно, в точке x 2 2