21. Преобразование нормированного фнч в полосовые и режекторные фильтры.

Преобразование ФНЧ - ПФ

Коридор АЧХ для Полосового Фильтра(ПФ).

Преобразование нормированного ФНЧ в полосовой фильтр выполняется в виде постановки:

При этом частотная ось нормированного ФНЧ связана с частотной осью ПФ соотношением:

Обратите внимание, что при пересчете используются как положительные, так и отрицательные частоты . Также можно заметить, если , то =, т.е. нулевая частота исходного нормированного ФНЧ преобразуется в частоту . Если , то =, а если , то = . Таким образом, вся отрицательная полуось частот нормированного ФНЧ преобразуется в интервал от 0 до полосового фильтра, а положительная полуось частот нормированного ФНЧ преобразуется в интервал от до бесконечности. Графически частотное преобразование ФНЧ-ПФ показано на рисунке.

На верхнем левом графике показана АЧХ исходного нормированного ФНЧ для положительных и отрицательных частот (поскольку коэффициенты передаточной функции нормированного ФНЧ чисто вещественны, то симметрично относительно нуля). Поскольку требуется оставить без изменения уровни подавления в полосе заграждения и неравномерность в полосе пропускания пересчитанного фильтра, то используется проекция (верхний правый график, проекции отображены синей пунктирной линией). Преобразование частоты согласно соотношению частоты оси ФНЧ и частоты оси ПФ показано на нижнем левом графике (линии проекции отображены зеленой пунктирной линией). На правом нижнем графике показана АЧХ пересчитанного ПФ, повернутая на 90 градусов, полученная в результате пересечения линий проекции.

Сделаем важное замечание. Если некоторая частота преобразуется согласно соотношению* в частоту , а частота в частоту , то можно записать:

Откуда:

Таким образом мы получили, что симметричные относительно точки АЧХ исходного нормированного ФНЧ преобразуются в точки с геометрической симметрией относительно частоты (термин геометрическая симметрия означает, что , т.е. есть среднее геометрическое и ). Это крайне важное свойство частотного преобразования ФНЧ-ПФ.

Расчёт полосового фильтра по заданному коридору АЧХ.

Мы произвольно задали , рассчитали частоту согласно выражению . Теперь воспользовавшись правилом геометрической симметрии мы можем проверить куда относительно нижней частоты заграждения попадает частота симметричная верхней частоты заграждения :

Частоту заграждения нормированного ФНЧ, можно рассчитать из выражения:

Преобразование ФНЧ – РФ

Как и полосовой фильтр, РФ имеет две переходные полосы, причем в отличии от ПФ, частоты коридора АЧХ режекторного фильтра удовлетворяют следующему правилу: , т.е. верхняя и нижняя частоты заграждения находятся рядом, а верхняя и нижняя частоты пропускания по краям.

АЧХ Режектороного Фильтра(РФ).

Преобразования фильтра нижних частот в режекторный фильтр осуществляется при помощи подстановки:

Видно что данная подстановка обратна преобразованию ФНЧ-ПФ. При этом частотная ось ФНЧ связана с частотной осью РФ соотношением:

Обратите внимание, что при пересчете используются как положительные, так и отрицательные частоты . Также можно заметить, если , то , или =, т.е. нулевая частота исходного ФНЧ «расходится» на 0 и на бесконечность. Если , то . Таким образом, вся отрицательная полуось частот исходного ФНЧ преобразуется в интервал от 0 до режекторного фильтра, а положительная полуось частот нормированного ФНЧ преобразуется в интервал от до бесконечности. При этом полуоси исходного ФНЧ как бы «выворачиваются», т.е. нулевая частота «раздваивается» и расходится на бесконечность и =, а частоты разнесенные на бесконечность , сходятся в точке . Графически частотное преобразование ФНЧ-РФ показано на рисунке.

Как и в случае с полосовым фильтром, частотная характеристика преобразованного режекторного фильтра обладает геометрической симметрией относительно частоты . Действительно, возьмем две произвольные частоты, расположенные симметрично относительно нуля в АЧХ исходного ФНЧ и , тогда этим частотам после преобразования будут соответствовать некоторые частоты режекторного фильтра:

Тогда можно приравнять:

Для задания частоты среза исходного ФНЧ необходимо, произвести анализ по аналогии с тем, что мы делали при расчете ПФ. А именно рассчитаем симметричные частоты для верхней и нижней частот среза РФ:

После этого необходимо сделать выбор: если , тогда пересчет частоты среза исходного ФНЧ осуществлять на основе верхней частоты среза по формуле:

В противном случае (если ), то пересчет осуществлять по нижней частоте среза РФ:

Сформируем следующий алгоритм:

1. Выбор переходной полосы, по которой производить пересчет коридора АЧХ для ФНЧ по рассмотренному выше правилу и расчет частоты среза ФНЧ

2. Расчет ФНЧ по заданному коридору АЧХ, полученному в шаге 1. Параметры неравномерности в полосе пропускания и уровня подавления в полосе заграждения принимаются такие же что и у режекторного фильтра.

3. При помощи частотного преобразования производим пересчет частотной характеристики ФНЧ в РФ