20. Преобразование нормированного фнч в фнч и фвч с заданной частотой среза.

Нормированный фильтр называется потому что его частота среза

Такое преобразование называется частотным преобразованием фильтра и строится на дробно-рациональной подстановке.

Пусть мы рассчитали передаточную характеристику нормированного ФНЧ

Преобрзование ФНЧ-ФНЧ

Очень важно, чтобы неравномерность в полосе пропускания фильтра и уровень подавления в полосе заграждения не изменились. Для этого используют дробно-рациональную подстановку вида:

Такая подстановка эквивалентна подстановке частоты в выражения для комплексного коэффициента передачи:

Где - циклическая частота нормированного ФНЧ с АЧХ .

Графическое представление частотного преобразования:

На верхнем левом графике показана АЧХ исходного нормированного ФНЧ , а на нижнем правом — АЧХ после частотного преобразования (повернутая на 90 градусов). Для того, чтобы неравномерность в полосе пропускания и уровень подавления в полосе заграждения пересчитанного фильтра были такими же, что и у исходного нормированного ФНЧ, используют проекцию (верхний правый график), а для преобразования оси частот используют проекцию (3), как это показано на нижнем левом графике. Сами проекции отмечены синими и зелеными пунктирными линиями. Пересечение проекций преобразуют частоту согласно (3). Так на рисунке 1 показано преобразование нескольких точек исходного нормированного ФНЧ в ФНЧ с заданной частотой среза .

Также необходимо рассчитать передаточную функцию рассчитываемого фильтра .

Шаг 1. Задаем частоту среза и частоту заграждения рассчитываемого фильтра .

Параметры коридора АЧХ нормированного ФНЧ задаются следующим образом:

Шаг 2. Рассчитываем передаточную характеристику нормированного ФНЧ .

Шаг 3. Осуществляем дробно-рациональную подстановку и получаем искомую передаточную характеристику фильтра.

Преобразование ФНЧ-ФВЧ

Для частотного преобразования ФНЧ-ФВЧ применяют следующую подстановку:

Как нетрудно заметить, подстановка обратна подстановке ФНЧ-ФНЧ, таким образом, частотное преобразование можно графически представить как это показано на рисунке.

Как и в случае преобразования ФНЧ-ФНЧ, на верхнем левом графике показана АЧХ исходного нормированного ФНЧ , а на нижнем правом — АЧХ после частотного преобразования (повернутая на 90 градусов). Для того, чтобы неравномерность в полосе пропускания и уровень подавления в полосе заграждения пересчитанного фильтра были такими же что и у исходного нормированного ФНЧ, используют проекцию (верхний правый график), а для преобразования оси частот используют проекцию, как это показано на нижнем левом графике. Сами проекции отмечены синими и зелеными пунктирными линиями. Пересечение проекций преобразуют частотную ось. Так показано преобразование нескольких точек исходного нормированного ФНЧ в ФВЧ с заданной частотой среза .

Данное преобразование является нелинейным, так как , таким образом, нулевая частота исходного нормированного ФНЧ переносится на бесконечность, полоса нормированного ФНЧ от 0 до 1 рад/с преобразуется в полосу ФВЧ от до бесконечности, а полоса нормированного ФНЧ от 1 рад/с до бесконечности рад/с полностью размещается внутри полосы от 0 до пересчитанного ФВЧ. Таким образом ось частот как бы «выворачивается» относительно частоты 1 рад/с и переносится на .

Также необходимо рассчитать передаточную функцию нашего фильтра.

Для расчета ФВЧ по заданном коридору АЧХ необходимо исходный нормированный ФНЧ рассчитать исходя из следующих параметров:

Важно подчеркнуть, что пересчет ФНЧ-ФНЧ и ФНЧ-ФВЧ не изменяет количества коэффициентов передаточной характеристики фильтра.