- •3 Диференціальні рівняння ізотермічної фільтрації флюїдів у пористому середовищі
- •3.1 Виведення рівняння нерозривності фільтраційного потоку
- •3.2 Диференціальні рівняння руху
- •3.3 Залежності параметрів флюїдів і пористого середовища від тиску
- •3.4 Початкові та граничні умови
- •3.5 Виведення узагальненого диференціального рівняння ізотермічної фільтрації пружної рідини чи газу за законом Дарсі в пористому середовищі
- •Контрольні питання
3.4 Початкові та граничні умови
Рівняння фільтрації є диференціальними рівняннями в частинних похідних. Щоб дістати розв’язок системи рівнянь, до неї необхідно ще додати початкові та граничні (або разом крайові) умови, які дають змогу виділити з безлічі розв’язків лише один, який описує конкретний процес фільтрації.
У випадку стаціонарної (усталеної) фільтрації мають бути задані тільки граничні умови, які виражають значини тиску (градієнта тиску) або витрати (швидкості) на зовнішній і внутрішній межах пласта. Кількість граничних умов має дорівнювати порядку диференціального рівняння по координатах. Граничні умови задаються у вигляді шуканої функції (граничні умови першого типу), її похідної (відповідно другого типу) або в мішаному вигляді, включаючи функцію та її похідну (відповідно третього типу), тобто щодо межі Г кожний тип можна записати так:
, (3.45)
де u – шукана функція; – похідна шуканої функції по нормаліn до границі Г; f1, f2, f3 – конкретні функції, що випливають з фізичної постановки задачі.
Для прикладу запишемо такі граничні умови на межі Г:
а) постійний тиск
; (3.46)
б) постійна витрата рідини Q через межу, наприклад, у разі справедливості закону Дарсі
(3.47)
або
; (3.48)
в) зміна витрати рідини через межу або змінний тиск на межі
; (3.49)
; (3.50)
г) замкнута (непроникна) межа (наприклад, зупинена свердловина)
; (3.51)
; (3.52)
д) нескінчeнний вздовж простягання пласт
(за ),(3.53)
де t – час; v – швидкість фільтрації згідно з (3.16); F(l) – площа фільтрації як функція шляху фільтрації l; f1(t), f2(t) – конкретні функції часу t.
У разі неусталеної (нестаціонарної) фільтрації крім умов на межах потоку, задають ще початкові умови. Вони характеризують шукану функцію в деякий момент часу, який приймають за початковий, тобто для t = 0. Наприклад, якщо в початковий момент часу (t = 0) пласт не був збурений, то початкова умова може бути записана як
р (x, y, z, 0) =p0 (x, y, z) (3.54)
або
p (x, y, z, 0) = const, (3.55)
де p0 (x, y, z) – стаціонарний розподіл тиску в пласті за часу t = 0.
3.5 Виведення узагальненого диференціального рівняння ізотермічної фільтрації пружної рідини чи газу за законом Дарсі в пористому середовищі
Узагальним диференціальне рівняння буде тоді, коли для його виведення не буде використано рівняння стану флюїду. Для цього скористаємося тільки рівняннями нерозривності потоку (3.12) і руху (3.19). Для розв’язування вводимо функцію Лейбензона
, (3.56)
де с – постійна інтегрування.
Повний дифeренціал цієї функції
. (3.57)
Отже,Тоді рівняння Дарсі (3.19) набувають вигляду:
(3.58)
Підставляючи ці рівняння Дарсі (3.58) у рівняння нерозривності потоку (3.11), отримуємо шукане узагальнене диференціальне рівняння неусталеної ізотермічної фільтрації пружної рідини чи газу за законом Дарсі в пористому середовищі
. (3.59)
Якщо припустити, що k і μ постійні, то із рівняння (3.59) маємо ще й в таких записах узагальнене диференціальне рівняння:
(3.60)
або
, (3.61)
або
, (3.62)
або
, (3.63)
де –оператор Лапласа, або лапласіан, або диференціатор другого порядку (читається набла два, а Δ – лапласіан), Δ =.
Якщо використати модифіковану функцію Лейбензона
, (3.64)
то рівняння (3.59) матиме простіший вигляд:
. (3.65)
У разі усталеної (стаціонарної) фільтрації (параметри не змінюються з часом) диференціальне рівняння набуває вигляду рівняння Лапласа:
(3.66)
або
(3.67)