4.3 Усталена плоско-радіальна фільтрація нестисливої рідини до свердловини в пористому пласті за законом Дарсі

У випадку плоско-радіальної фільтрації до гідродинамічно досконалої свердловини із рівняння (4.3) маємо (див. підрозд. 2.1):

. (4.21)

З метою спрощення задачі доцільно перейти від декартових координат до полярних, оскільки внаслідок осьової симетрії потік залежить тільки від радіус-вектора (рис. 4.4, б)

(4.22)

і не залежить від полярного кута.

Виражаючи ічерезr, не важко одержати рівняння Лапласа в полярних координатах для плоско-радіального потоку, а саме:

. (4.23)

Граничні умови такі:

(4.24)

де p_c, p_к– тиски відповідно на контурі свердловини (вибійний тиск) і на контурі живлення пласта (контурний або пластовий тиск);r_c, R_к – радіуси відповідно свердловини та контура живлення пласта.

Задача повністю поставлена. Розв’яжемо її. Загальний розв’язок отримуємо так:

. (4.25)

Рівняння (4.25) є загальним розв’язком, в якому с₁тас₂– постійні інтегрування.

Зауважимо, що загальний розв’язок (4.25) можна отримати простішим шляхом, якщо використати рівняння нерозривності фільтраційного потоку

,

або за = const

,

або

,

де F – площа фільтрації, F=2πrh (це бокова поверхня циліндра).

Оскільки довжина шляху фільтрації l = R_к – r(див. рис. 4.4,б), звідсиdl = - dr, то закон Дарсі (1.12) дляплоско-радіальної фільтраціїзаписується у вигляді формули:

. (4.26)

У випадку усталеного фільтраційного потоку нестисливої рідини об’ємна витрата Qє сталою величиною вздовж шляху фільтрації, то рівняння нерозривності можна записати

або

або за

(4.27)

Оскільки похідна від постійної величини дорівнює нулю, а значить

то, двічі інтегруючи рівняння (4.27), одержуємо загальний розв’язок (4.25).

Постійні інтегрування с₁іс₂визначаємо із граничних умов (4.24), тобто

,

звідки

(4.28)

або

.

(Надалі під логарифмом з метою простішого запам’ятовування і зіставлення формул писатимемо відношення більшого радіуса до меншого). Підставляючи знайдені постійні с₁іс₂у загальний розв’язок (4.25), дістаємо як частковий розв’язок рівняння розподілу тиску в пласті (рівняння п’єзометричної лінії):

, (4.29)

або

. (4.30)

Залежності (4.29) чи (4.30) є логарифмічною кривою лінією, яка дуже крута поблизу свердловини, а відтак виположується і перетинає горизонтальну лінію початкового тиску p_ку пласті заr = R_к(див. рис. 4.4,а). Більший нахил логарифмічної лінії біля стінки свердловини свідчить про те, що тут витрачається основна частинадепресії тискуна пласт, тобтоp = p_к – p_c.

Під час обертання логарифмічної п’єзометричної лінії навколо осі свердловини одержуємо поверхню, яку називають лійкою депресії тиску (депресійною лійкою).

Із рівняння (4.29) випливає, що тиск однаковий в усіх тих точках пласта, для яких

(4.31)

або в декартових координатах

.

Вираз (4.31) є рівнянням ізобар(ліній однакового тиску). Ізобари являють собою концентричні відносно осі свердловини кола, які перпендикудярні до ліній течії. Будується гідродинамічне поле так: перехід від радіуса до радіуса здійснюється в геометричній прогресії, щоб забезпечити перехід від ізобари до ізобари в арифметичній прогресії (див. рис. 4.4,б).

Диференціюючи рівняння (4.29), маємо вираз градієнта тиску:

. (4.32)

Тоді, підставляючи вираз (4.32) у формулу закона Дарсі (4.20), дістаємо вираз швидкості фільтрації:

. (4.33)

Помноживши вираз (4.33) на площу фільтрації F = 2rh, маємоформулу дебіту свердловини (формулу Дюпюї),аборівняння припливу рідини:

(4.34)

де h– товщина продуктивного пласта. При цьому об’ємна витрата нестисливої рідини усталеного плоско-радіального потоку вздовж лінії течії (вздовж радіусаr) не змінюється (рис. 4.5).

Зауважимо, що формулу Дюпюї можна також дістати безпосереднім інтегруванням рівняння закону Дарсі (4.26), взявши

, (4.35)

тобто

звідки виходить (4.34).

Із формули (4.34) маємо

тому рівняння розподілу тиску в пласті (4.28) можна записати ще й так:

. (4.36)

Із рівнянь (4.32) і (4.33) видно, що іvобернено пропорційніr(гіперболічна залежність – рівнобока гіпербола), тобто з наближенням до свердловини градієнт тискута швидкість фільтраціїvзростають, сягаючи найбільших значин на стінці свердловини (див. рис. 4.5).

Задача 4.3. У пласті має місце плоскорадіальна фільтрація нестисливої нафти за законом Дарсі. Визначити дебіт свердловини, а також швидкість фільтрації і тиск на відстані 15 м від свердловини. Відомо: радіус свердловини 0,07 м; радіус контура живлення пласта 850 м; товщина пласта 21 м; коефіцієнт гідропровідності пласта 1,7∙10^‑10 м³/(Па∙с); депресія тиску 2,5 МПа; тиск на контурі живлення пласта15 МПа.

Розв’язування. Визначаємо дебіт свердловини:

м³/с.

Швидкість фільтрації на відстані 15 м від свердловини обчислюємо за формулою:

м/с.

Визначаємо тиск на відстані 15 м від свердловини:

Па.

Відповідь: дебіт свердловини становить 2,839∙10^-4 м³/с, швидкість фільтрації на відстані 15 м від свердловини – 1,435∙10^‑7 м/с, а тиск – 13,927∙10⁶ Па.

Логарифмічна залежність дебіту Qвід радіусів R_кіr_c підкреслює, що тільки значна зміна цих параметрів може істотно вплинути на величину дебіту. Щоб збільшити дебіт Qвдвічі, відношення радіусівтреба зменшити до. Це означає, що в разіR_к = const радіус r_cмає збільшитися до, а в разіr_c = const радіусR_кмає зменшитися до. Наприклад, дляR_к= 1000 м,r_c= 0,1 м,= 10⁴,= 10^2, =10, тобто радіус свердловини має дорівнювати 1 м, або радіус контура пласта – 100 м.

Звідси випливають важливі практичні висновки:

1) невідомість точних значин R_к і r_c (на практиці їх і не вдається визначити точно) не вносить значних похибок у розрахунок дебіту;

2) практично неможливо досягнути значного збільшення дебіту за рахунок збільшення r_c(свердловини великого діаметра бурять з метою зменшення втрат тиску в її стовбурі під час руху флюїду від вибою до гирла у випадку великих дебітів);

3) формулу Дюпюї можна застосовувати не тільки у випадку наявності колових контурів живлення пласта, але й у багатьох випадках, коли контур має звивисту форму;

4) формулу Дюпюї можна застосовувати й у випадку нерівномірного розподілу тиску вздовж контура живлення пласта, розуміючи під р_ксередній тиск на лінії контура живлення (аналогічно й щодо контура свердловини).

Рівняння припливу(4.34) можна записати ще й так:

, (4.37)

де К₀– коефіцієнт продуктивності свердловини,Δр– депресія тиску, p = p_к - p_c.

Графік залежності дебіту свердловини Qвід депресії тиску pназиваютьіндикаторною діаграмою (лінією). У випадку фільтрації нестисливої рідини за законом Дарсі в пористому пласті індикаторна діаграма є прямою лінією (рис. 4.6,а). Зауважимо, що індикаторну діаграму будують тільки стосовно усталеного потоку.

У розглянутій постановці, коли визначається дебіт Qза заданої депресії тискуpта відомих параметрів пласта і свeрдловини (,k, h, R_к, r_c), розв’язуєтсяпряма задачапідземної гідрогазомеханіки. Використовуючи індикаторну діаграму, можна розв’язуватиобернену задачу, тобто визначати параметри пласта і свердловини за відомихQіp. ВеличиниQіpвідомі за данимигідродинамічного дослідження свердловини на усталених режимах.При цьому задають не менше як три усталені режими, що характеризуються трьома парамиQіp. Величинуpвизначають з використанням манометрів, а дебіт свердловини вимірюють на поверхні лічильником. Тільки необхідно виконати перерахунок до умов пласта:

, (4.38)

де b_н– об’ємний коефіцієнт рідини (нафти);Q_пов– об’ємний дебіт рідини за поверхневих (стандартних чи нормальних) умов (розгазована нафта).

Тоді будують індикаторну діаграму Q (p), за якою або графічно як тангенс кутаїї нахилу до осіp, або з використанням методу найменших квадратів, або в машинній програмі системиMathCADз використанням оператора лінійної регресії (сучасний спосіб визначення), знаходятькоефіцієнт продуктивності:

. (4.39)

Знаючи K₀, розраховуютькоефіцієнтгідропровідності пласта (або просто кажуть гідропровідність пласта)

(4.40)

а знаючи коефіцієнт гідропровідності пласта – коефіцієнт плинності рідинив пористому середовищі

(4.41)

і за відомих (визначається в лабораторії за пробами рідини) іh(визначається методом свердловинних дебітовитратометричних досліджень) – коефіцієнт проникності пласта

(4.42)

Відношення дебіту свердловини до депресії тиску pза справедливості закону Дарсі називаютькоефіцієнтом продуктивності свердловиниК₀.

Для зіставлення різних свердловин між собою за продуктивною характеристикою визначають також питомий коефіцієнт продуктивності

. (4.43)

Іноді індикаторну діаграму будують в координатах Qтаp_c(див. рис. 4.6,б). Дебіт Q_пот для p_c= 0 називаютьпотенціальним дебітом свердловини. Зверніть увагу, що екстраполюючи на рис. 4.6,біндикаторну лінію Q(p_c) до осі тиску p_c, маємо можливість визначити тискp_кна контурі пласта, не вдаючись до інструментального його вимірювання (цей тиск вимірюють з допомогою свердловинного манометра на вибої свердловини, яка тривалий час не працює).

Задача 4.4. Визначити депресію тиску на пласт і градієнт тиску на стінці свердловини, якщо в пласті має місце плоскорадіальна напірна фільтрація нестисливої нафти за законом Дарсі за критичного градієнта тиску (границя порушення закону Дарсі). Відомо: радіус контуру живлення пласта R_к = 800 м; радіус свердловини r_c = 0,1 м; коефіцієнти пористості m і проникності k пласта 18% і 9∙10^-13 м²; динамічний коефіцієнт в’язкості μ і густина нафти ρ 1,02 мПа∙с і 860 кг/м³. Методичні вказівки: використати формулу В.М. Щелкачова за Re_кр = 1.

Розв’язування. Визначаємо критичну швидкість фільтрації, перетворивши формулу В.М. Щелкачова відносно швидкості:

м/с.

Величину критичного градієнта тиску на стінці свердловини знаходимо із закону Дарсі:

Па/м.

Депресію тиску на пласт визначаємо із рівняння:

Па.

Відповідь: депресія тиску на пласт становить 2,467 МПа, а критичний градієнт тиску на стінці свердловини 2,745 МПа/м.

Задача 4.5. У результаті гідродинамічного дослідження свердловини на усталених режимах фільтрації отримано наступну відповідність між дебітами та вибійними тисками:

Qо, т/доб	12	18	24	30
рв, МПа	18	16	14	12

Визначити коефіцієнти продуктивності, гідропровідності і проникності пласта, якщо радіус свердловини r_c = 0,075 м; коефіцієнт динамічної в’язкості пластової нафти μ = 1,7 мПа·с; товщина пласта h = 8 м; відстань до контура живлення пласта R_к = 720 м; об’ємний коефіцієнт нафти в_н = 1,1; густина розгазованої нафти ρ_н = 890 кг/м³.

Розв’язування. Переводимо масовий дебіт свердловини з поверхневих умов до пластових за формулою:

,

тобто

1,717·10^-4 м³/с;

2,575·10^-4м³/с;

3,433·10^-4м³/с;

4,292·10^-4м³/с.

Невідомий пластовий тиск можна визначити графічно з індикаторної діаграми – залежності дебіту свердловини (за пластових умов) від вибійного тиску Q_i =f (р_вi) або аналітично з допомогою ПЕОМ. Для визначення визначення пластового тиску знаходимо рівняння прямої лінії, яка проходить через точки залежностіQ_i =f(р_вi), у машинній програмі системиMathCADз використанням оператора лінійної регресіїinterceptтаslope. Для цього складаємо одновимірні масиви значин дебітів свердловини та відповідних вибійних тисків:

; .

Визначаємо коефіцієнти a та b рівняння прямої лінії вигляду Q = a + bр_в у машинній програмі системи MathCAD так:

a  intercept;b  slope;

a = 9,4413·10^-4;b = –4,2915·10^-11;

З рівняння прямої визначаємо величину пластового тиску за умови, що дебіт свердловини Q = 0, тоді отримуємо наступне рівняння прямої:

0 = a + bр_пл,

звідки р_пл =22·10⁶ Па.

Визначаємо депресію тиску на пласт:

Δр₁ =р_пл –р_в1 = 22·10⁶– 18·10⁶ = 4·10⁶Па;

Δр_2 =р_пл –р_в2 = 22·10⁶– 16·10⁶ = 6·10⁶Па;

Δр₃ =р_пл –р_в3 = 22·10⁶– 14·10⁶ = 8·10⁶Па;

Δр₄ =р_пл –р_в4 = 22·10⁶– 12·10⁶ = 10·10⁶Па.

Визначаємо коефіцієнт продуктивності свердловини з рівняння припливу рідини до свердловини, яка є рівнянням індикаторної діаграми Q_i =К_о(Δр_i) у машинній програмі системи MathCAD наступним чином:

К_о  slope= 4,2915·10^-11 м³/(Па·с);

Визначаємо:

коефіцієнт гідропровідності пласта

6,2661·10^-11 м³/(Па·с);

коефіцієнт проникності гірської породи пласта

1,332·10^-14 м².

Відповідь: коефіцієнт продуктивності свердловини К_о = 4,2915·10^-11 м³/(Па·с); коефіцієнт гідропровідності ε = 6,2661·10^-11 м³/(Па·с); коефіцієнт проникності породи k = 1,332·10^-14 м².

Визначимо ще середній тиск у пласті(середньозважений за об’ємом)

, (4.44)

де – середній тиск у пласті;V_п– об’єм пор пласта; p– тиск у довільній точці пласта.

Об’єм пор пласта тоді з урахуванням рівняння (4.29) середній тиск

(4.45)

де 2πrdr – площа смужки довжиною 2πr і шириною dr.

Інтегруючи вираз (4.45), дістаємо :

, (4.46)

або нехтуючи усіма членами, що містять (оскільки),

. (4.47)

Розділимо рівняння (4.47) на p_кі матимемо:

. (4.48)

Нехай p_с/p_к= 0,8;R_к/r_c= 10⁴, тоді, а отже, середній тискмало відрізняється від контурного тискуp_к.

Для визначення часу руху чаcтинок рідинивикористовуємо вже відомий зв’язок (1.5) між дійсною швидкістюw і швидкістю фільтраціїvі записуємо:

(4.49)

(знак ’’–’’ поставлено тому, що із зростанням часу tрадіус rзменшується – рідина рухається до свердловини).

Розділяючи змінні в рівнянні (4.49) та інтегруючи, дістаємо формулу часу руху частинок рідини, тобто

(4.50)

або з урахуванням формули Дюпюї (4.34)

, (4.51)

де r₀– радіус будь-якої точки пласта.

Час руху частинок рідини з відстані r_oдо стінки свердловини r ₌ r_с

, (4.52)

або за

, (4.53)

а повний час руху від контура живлення пласта (r₀=R_к) до свeрдловини, чи в разі наближених розрахунків час переміщення ВНК,

, (4.54)

де – об’єм запасу нафти в пласті.

Зауважимо, що усі виведені тут формули залишаються справедливими і стосовно випадку нагнітання рідини в пласт, тобто стосовно до нагнітальної свердловини, коли р_с>р_к. А тоді у виведені формули замість депресії тиску (р_к–р_с) треба підставити репресію тиску (р_в–р_к), при цьому графік розподілу тиску (див. рис. 4.2) буде дзеркальним відображенням у горизонтальній площині щодо лінії тискур_к=const.

Задача 4.6. У круговому пласті з радіусом R_к = 380 м працює концентрично розміщена свердловина. Тиски на контурі пласта р_к і на вибої свердловини р_с відповідно 22 і 18 МПа. Коефіцієнт продуктивності свердловини 20 м³/(МПа·доб); товщина пласта h = 12 м; коефіцієнт пористості m = 18%. Визначити, через який час частинка рідини, яка розміщена на контурі пласта,поступить у свердловину, радіус якої r_c = 0,1 м.

Розв’язування. Визначаємо дебіт свердловини з рівняння припливу рідини до свердловини:

92,593·10^-5 м³/с.

Визначаємо час руху частинки рідини від контура пласта до вибою свердловини:

1,05773·10⁹ с   або 33,5 років.

Відповідь: t = 1,05773·10⁹ с або 33,5 років.